cho a, b,thuộc N. Chứng minh rằng a bình phương+ b bình phương chia hết cho 8 thì a,b không thể đồng thời là số lẻ.
mọi ngừi giúp e vs ạ. pls …pls…~~
cho a, b,thuộc N. Chứng minh rằng a bình phương+ b bình phương chia hết cho 8 thì a,b không thể đồng thời là số lẻ.
mọi ngừi giúp e vs ạ. pls …pls…~~
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Do $a^2+b^2\vdots8$
$⇒a^2;b^2$ cùng chẵn hoặc cùng lẻ
Với trường hợp $a^2;b^2$ cùng lẻ
$⇒a;b$ cùng lẻ
Mọi số lẻ đều chia 4 dư 1 hoặc 3
Xét 3 trường hợp:
–Trường hợp 1: Nếu cả 2 số chia 4 dư 1
Đặt $a=4m+1;b=4n+1(m;n∈N)$
$⇒a^2+b^2=(4m+1)^2+(4n+1)^2$
$=16m^2+8m+1+16n^2+8n+1$
$=8(2m^2+2n^2)+8(m+n)+2$
Dễ thấy biểu thức trên không chia hết cho 8
⇒ Trường hợp này không xảy ra
–Trường hợp 2: Nếu cả 2 số chia 4 dư 3
Đặt $a=4m+3;b=4n+3(m;n∈N)$
$⇒a^2+b^2=(4m+3)^2+(4n+3)^2$
$=16m^2+24m+9+16n^2+24n+9$
$=8(2m^2+2n^2)+8(3m+3n)+18$
Dễ thấy biểu thức trên không chia hết cho 8
⇒ Trường hợp này không xảy ra
–Trường hợp 3: Nếu 1 trong 2 số chia 4 dư 1, số còn lại chia 4 dư 3
Giả sử a chia 4 dư 1; b chia 4 dư 3 (trường hợp ngược lại chứng minh tương tự)
Đặt $a=4m+1;b=4n+3(m;n∈N)$
$⇒a^2+b^2=(4m+1)^2+(4n+3)^2$
$=16m^2+8m+1+16n^2+24n+9$
$=8(2m^2+2n^2)+8(m+3n)+10$
Dễ thấy biểu thức trên không chia hết cho 8
⇒ Trường hợp này không xảy ra
Vậy, cả 3 trường hợp đi đến kết luận:
$a^2+b^2\vdots8$ thì a,b không thể đồng thời là số lẻ (đpcm)