Cho a, b, x, y là những số khác 0. Biết rằng ( $a^{2}$ + $b^{2}$ )( $x^{2}$ + $y^{2}$ ) = $(ax+by)^{2}$ Hãy tìm hệ thức giữa 4 số a, b, x, y

Ta sẽ đi chứng minh BĐT sau: $(a^2+b^2)(x^2+y^2)\ge (ax+by)^2$

$↔a^2x^2+b^2x^2+a^2y^2+b^2y^2\ge a^2x^2+2axby+b^2y^2\\↔a^2x^2+b^2x^2+a^2y^2+b^2y^2-a^2x^2-2axby-b^2y^2\ge 0\\↔b^2x^2-2axby+a^2y^2\ge 0\\↔(bx-ay)^2\ge 0(luôn\,\,đúng)$

$→$ Dấu “=” xảy ra khi $bx-ay=0$

$↔bx=ay\\↔\begin{cases}\dfrac{b}{a}=\dfrac{y}{x}\\\dfrac{a}{b}=\dfrac{x}{y}\\\dfrac{b}{y}=\dfrac{a}{x}\\\dfrac{y}{b}=\dfrac{x}{a}\end{cases}$

Vậy các hệ thức liên hệ giữa 4 số a,b,x,y là $bx=ay;\dfrac{b}{a}=\dfrac{y}{x};\dfrac{a}{b}=\dfrac{x}{y};\dfrac{b}{y}=\dfrac{a}{x};\dfrac{y}{b}=\dfrac{x}{a}$