Cho a, b, x, y là những số khác 0. Biết rằng ( $a^{2}$ + $b^{2}$ )( $x^{2}$ + $y^{2}$ ) = $(ax+by)^{2}$
Hãy tìm hệ thức giữa 4 số a, b, x, y
Cho a, b, x, y là những số khác 0. Biết rằng ( $a^{2}$ + $b^{2}$ )( $x^{2}$ + $y^{2}$ ) = $(ax+by)^{2}$
Hãy tìm hệ thức giữa 4 số a, b, x, y
Ta sẽ đi chứng minh BĐT sau: $(a^2+b^2)(x^2+y^2)\ge (ax+by)^2$
$↔a^2x^2+b^2x^2+a^2y^2+b^2y^2\ge a^2x^2+2axby+b^2y^2\\↔a^2x^2+b^2x^2+a^2y^2+b^2y^2-a^2x^2-2axby-b^2y^2\ge 0\\↔b^2x^2-2axby+a^2y^2\ge 0\\↔(bx-ay)^2\ge 0(luôn\,\,đúng)$
$→$ Dấu “=” xảy ra khi $bx-ay=0$
$↔bx=ay\\↔\begin{cases}\dfrac{b}{a}=\dfrac{y}{x}\\\dfrac{a}{b}=\dfrac{x}{y}\\\dfrac{b}{y}=\dfrac{a}{x}\\\dfrac{y}{b}=\dfrac{x}{a}\end{cases}$
Vậy các hệ thức liên hệ giữa 4 số a,b,x,y là $bx=ay;\dfrac{b}{a}=\dfrac{y}{x};\dfrac{a}{b}=\dfrac{x}{y};\dfrac{b}{y}=\dfrac{a}{x};\dfrac{y}{b}=\dfrac{x}{a}$
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
(a²+b²)(x²+y²)=(ax+by)²
⇔ a²x²+a²y²+b²x²+b²y²=a²x²+b²y²+2axby
⇒ a²x²+a²y²+b²x²+b²y²-a²x²-b²y²-2axby=0
⇔ a²y²+b²x²-2axby=0
⇔ (ay-bx)²=0
⇒ ay=bx