Cho A=
$\frac{x^3 -x}{x^2+1}$. ( $\frac{1}{x^2-2x+1}$ + $\frac{1}{1 – x^2}$ ) – $\frac{x^2+x+1}{x^3-1}$
a. Rút gọn A
b. Tìm x để A= $x^{3}$ +1
Cho A=
$\frac{x^3 -x}{x^2+1}$. ( $\frac{1}{x^2-2x+1}$ + $\frac{1}{1 – x^2}$ ) – $\frac{x^2+x+1}{x^3-1}$
a. Rút gọn A
b. Tìm x để A= $x^{3}$ +1
Đáp án+Giải thích các bước giải:
`a)ĐKXĐ:x\ne 1;x\ne -1`
`A=\frac{x^3-x}{x^2+1}.(\frac{1}{x^2-2x+1}+\frac{1}{1-x^2})-\frac{x^2+x+1}{x^3-1}`
`=\frac{x^3-x}{x^2+1}.(\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{-1}{(x-1)(x+1)})-\frac{x^2+x+1}{(x-1)(x^2+x+1)}`
`=\frac{x^3-x}{x^2+1}.(\frac{x+1}{(x-1)^2(x+1)}+\frac{-(x-1)}{(x-1)^2(x+1)})-\frac{1}{x-1}`
`=\frac{x(x^2-1)}{x^2+1}.\frac{x+1-x+1}{(x-1)^2(x+1)}-\frac{1}{x-1}`
`=\frac{x(x-1)(x+1)}{x^2+1}.\frac{2}{(x-1)^2(x+1)}-\frac{1}{x-1}`
`=\frac{x}{x^2+1}.\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x-1}`
`=\frac{2x}{(x^2+1)(x-1)}-\frac{x^2+1}{(x^2+1)(x-1)}`
`=\frac{2x-x^2-1}{(x^2+1)(x-1)}`
`=\frac{-(x^2-2x+1)}{(x^2+1)(x-1)}`
`=\frac{-(x-1)^2}{(x^2+1)(x-1)}`
`=\frac{-(x-1)}{x^2+1}`
`=\frac{1-x}{x^2+1}`
Vậy `A=\frac{1-x}{x^2+1}`
`b)ĐKXĐ:x\ne 1;x\ne -1`
Ta có:
`A=\frac{1-x}{x^2+1}`
Để `A=x^3+1`
`=>\frac{1-x}{x^2+1}=x^3+1`
`<=>1-x=(x^2+1)(x^3+1)`
`<=>-(x-1)=x^5+x^2+x^3+1`
`<=>x^5+x^3+x^2+1+x-1=0`
`<=>x^5+x^3+x^2+x=0`
`<=>x(x^4+x^2+x+1)=0`
`TH1:x=0` thoả mãn điều kiện xác định.
`TH2:x^4+x^2+x+1=0`
Ta có:
`x^4+x^2+x+1`
`=x^4+(x^2+x+1)`
`=x^4+(x^2+2.\frac{1}{2}x+1/4+3/4)`
`=x^4+(x+1/2)^2+3/4`
Vì:
`x^4>=0` với mọi `x`
`(x+1/2)^2>=0` với mọi `x`
`=>x^4+(x+1/2)^2>=0` với mọi `x`
`=>x^4+(x+1/2)^2+1>0`
`=>x^4+(x+1/2)^2+1\ne 0`
`=>x^4+x^2+x+1\ne 0`
`=>` Không có giá trị `x`
Vậy `x=0` để `A=x^3+1`