Cho A là một ma trận vuông cấp 3 có các phần tử là số lẻ. Chứng minh rằng detA là một số chẵn

Gọi $A = \left(\matrix{a_{11}&a_{12}&a_{13}\cr a_{21}&a_{22}&a_{23}\cr a_{31}&a_{32}&a_{33}} \right)$

Với $a_{ij}$ là số lẻ $(i = \overline{1,3}; j = \overline{1,3})$

Ta được:

$\quad \det(A) =  \left|\matrix{a_{11}&a_{12}&a_{13}\cr a_{21}&a_{22}&a_{23}\cr a_{31}&a_{32}&a_{33}} \right|$

$\Leftrightarrow \det(A) = a_{11}.a_{22}.a_{33} + a_{12}.a_{23}.a_{21} + a_{13}.a_{21}.a_{32} – a_{13}.a_{22}.a_{31} – a_{12}.a_{21}.a_{33} – a_{11}.a_{23}.a_{32}$

Do $a_{ij}$ là số lẻ

nên $a_{11}.a_{22}.a_{33}$ lẻ

$a_{12}.a_{23}.a_{21}$ lẻ

$a_{13}.a_{21}.a_{32}$ lẻ

$a_{13}.a_{22}.a_{31}$ lẻ

$a_{12}.a_{21}.a_{33}$ lẻ

$a_{11}.a_{23}.a_{32}$ lẻ

Ta được:

$a_{11}.a_{22}.a_{33} + a_{12}.a_{23}.a_{21} + a_{13}.a_{21}.a_{32}$ lẻ

$a_{13}.a_{22}.a_{31} + a_{12}.a_{21}.a_{33} + a_{11}.a_{23}.a_{32}$ lẻ

$\Rightarrow a_{11}.a_{22}.a_{33} + a_{12}.a_{23}.a_{21} + a_{13}.a_{21}.a_{32} – a_{13}.a_{22}.a_{31} – a_{12}.a_{21}.a_{33} – a_{11}.a_{23}.a_{32}$ chẵn

Hay $\det(A)$ chẵn