Cho a là số thực dương lớn hơn 1 và
x = $\sqrt[2]{a+\sqrt[2]{a^2-1 } }$ + $\sqrt[2]{a-\sqrt[2]{a^2-1 } }$
Tính P=x ³ – 2x ²-2(a+1)x + 4a +2024
Cho a là số thực dương lớn hơn 1 và
x = $\sqrt[2]{a+\sqrt[2]{a^2-1 } }$ + $\sqrt[2]{a-\sqrt[2]{a^2-1 } }$
Tính P=x ³ – 2x ²-2(a+1)x + 4a +2024
` x = \sqrt(a + \sqrt(a^2-1)) + \sqrt(a – \sqrt(a^2-1))`
` \to x^2 = ( \sqrt(a + \sqrt(a^2-1)) + \sqrt(a – \sqrt(a^2-1)))^2`
`\to x^2 = ( a + \sqrt(a^2-1)) + ( a – \sqrt(a^2-1)) + 2 \sqrt (( \sqrt ( a + \sqrt(a^2-1)))( \sqrt(a – \sqrt(a^2-1))))`
`\to x^2 = 2a + 2\sqrt ( \sqrt ( a^2 – (a^2-1)))`
` \to x^2 = 2a + 2`
`\to x^2 = 2(a+1)`
`\to a +1 = 1/2 x^2`
`\to a = 1/2 x^2-1`
` P = x^3 -2x^2 – 2(a+1)x + 4a +2024`
` = x^3 -2x^2 -2( 1/2 x^2-1 +1) x + 4 ( 1/2 x^2-1 ) + 2024`
` = x^3 -2x^2 – x^3 + 2x^2 – 4 + 2024`
` = 2020`
Vậy ` P = 2020`
Đáp án:
`P = 2020`
Giải thích các bước giải:
Ta có:
`x = sqrt(a+sqrt(a^2 -1)) + sqrt(a – sqrt(a^2-1))` (với `a>1`)
`=> x^2 = a+sqrt(a^2 -1) + a – sqrt(a^2-1) + 2sqrt(a^2 -(a^1-1))`
`=> x^2 -2a -2=0`
Vậy:
`P = x^3 – 2x^2 – 2(a+1)x + 4a +2024`
`P= x^3 – 2(a+1)x – 2x^2 + 4a + 4 + 2020`
`P = x(x^2 – 2a -2) -2(x^2-2a-2) +2020`
`P = (x^2 -2a-2)*(x-2) +2020`
`P=2020`
Với `x= sqrt(a+sqrt(a^2-1)) + sqrt(a-sqrt(a^2-1))` thì `P=2020`