Cho ab+bc+ca=4. Chứng minh bất đẳng thức sau: $a^{4}$+ $b^{4}$+ $c^{4}$ $\geq$ $\frac{16}{3}$

0 bình luận về “Cho ab+bc+ca=4. Chứng minh bất đẳng thức sau: $a^{4}$+ $b^{4}$+ $c^{4}$ $\geq$ $\frac{16}{3}$”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:

   $(1+1+1)(a^4+b^4+c^4) ≥ (a^2+b^2+c^2)^2$

   $⇔ 3(a^4+b^4+c^4) ≥ (a^2+b^2+c^2)^2$

   $⇔ a^4+b^4+c^4 ≥ \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}\ (1)$

   $⇒ a^4+b^4+c^4 ≥ ab+bc+ca=4\ (2)$

   Từ $(1)$ và $(2) ⇒ a^4+b^4+c^4 ≥ \dfrac{4^2}{3} ⇔ a^4+b^4+c^4 ≥ \dfrac{16}{3}$

   Dấu $”=”$ chỉ xảy ra khi: $a=b=c=±\dfrac{\sqrt{2}}{3}$

   Trả lời

2. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

    Ap dung bdt: x^2 + y^2 + z^2 ≥ xy + yz + zx va x^2 + y^2 + z^2 ≥ $\frac{(x+y+z)^{2}}{3}$  thi:

   a^4 + b^4 + c^4 ≥ a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 ≥ (ab+bc+ac)^2/3 ≥ 4^2/3 ≥ 16/3 

   Dau “=” xay ra khi a=b=c = +- 2/$\sqrt[]{3}$ 

   Trả lời