Cho abc = 1 (a, b, c >0) Tìm min `P=(bc)/(a^2b+a^2c)+(ab)/(c^2a+c^2b)+(ac)/(b^2a+b^2c)`

Đáp án:

 `P = (bc)/(a^2b+  a^2c) + (ab)/(c^2a + c^2b) + (ac)/(b^2a + b^2c)`

`= (bc)^2/(bc.a^2b + bc.a^2c) + (ab)^2/(ab.c^2a + ab.c^2b) + (ac)^2/(ac . b^2a + ac . b^2c)`

`= (bc)^2/(abc . ab + abc . ac) + (ab)^2/(abc . ac + abc . bc) + (ac)^2/(abc . ab + abc . bc)`

`= (bc)^2/(ab + ac) + (ab)^2/(ac + bc) + (ac)^2/(ab + bc)`

Áp dụng BĐT `svac-xo` có :

`P >= (bc + ab + ac)^2/(ab + ac + ac +bc + ab + bc) = (ab + bc + ca)^2/[2(ab + bc + ca)]`

`= (ab + bc + ca)/2 >= ` $\dfrac{3.\sqrt[3]{ab.bc.ca}}{2} = \dfrac{3.\sqrt[3]{1}}{2} = \dfrac{3}{2}$

Dấu “=” `↔ a = b = c = 1`

Vậy $P_{Min}$ là `3/2 ↔ a = b = c = 1`

Giải thích các bước giải: