cho `abc=1` . cmr `1/(a+2)+1/(b+2)+1/(c+2) \leq 1` ai có link trang web nào làm bài này gửi cho tui đc ko 03/10/2021 Bởi Amara cho `abc=1` . cmr `1/(a+2)+1/(b+2)+1/(c+2) \leq 1` ai có link trang web nào làm bài này gửi cho tui đc ko
Đáp án: Giải thích các bước giải: Đặt $A=\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}$ Khi đó, ta có $3-2A=\frac{a}{a+2}+\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2}$ Đặt $a=x^2;b=y^2;c=z^2 (x;y;z \ge 0)$ Khi đó, ta có $x^2y^2z^2=1$ $\Rightarrow xy+yx+zx \ge 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2} =3 $(BĐT AM-GM) Ta có $3-2A=\frac{x^2}{x^2+2}+\frac{y^2}{y^2+2}+\frac{z^2}{z^2+2}$ $\ge \frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+y^2+6}$ (BĐT Cauchy-Schwarz) $\ge \frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+y^2+2(xy+yz+zx)}=1$ $\Rightarrow A\le 1$ Dấu “=” xảy ra khi $xy=yz=zx=1$ Hay $a=b=c=1$ Bình luận
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Đặt $A=\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}$
Khi đó, ta có $3-2A=\frac{a}{a+2}+\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2}$
Đặt $a=x^2;b=y^2;c=z^2 (x;y;z \ge 0)$
Khi đó, ta có $x^2y^2z^2=1$
$\Rightarrow xy+yx+zx \ge 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2} =3 $(BĐT AM-GM)
Ta có $3-2A=\frac{x^2}{x^2+2}+\frac{y^2}{y^2+2}+\frac{z^2}{z^2+2}$
$\ge \frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+y^2+6}$ (BĐT Cauchy-Schwarz)
$\ge \frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+y^2+2(xy+yz+zx)}=1$
$\Rightarrow A\le 1$
Dấu “=” xảy ra khi $xy=yz=zx=1$
Hay $a=b=c=1$