cho : abc=1 và a+b+c=1/a+1/b+1/c CMR trong ba số a,b,c tồn tại 1 số bằng 1

0 bình luận về “cho : abc=1 và a+b+c=1/a+1/b+1/c CMR trong ba số a,b,c tồn tại 1 số bằng 1”

1. Đáp án:

   a+b+c=1a+1b+1c

   ⇔a+b+c=ab+bc+caabc

   ⇔a+b+c−ab−bc−ca=0

   ⇔a+b+c−ab−bc−ca+abc−1=0

   ⇔(a−ac)+(b−bc)+(−ab+abc)+(c−1)=0

   ⇔−a(c−1)−b(c−1)+ab(c−1)+(c−1)=0

   ⇔(−a−b+ab+1)(c−1)=0

   ⇔[b(a−1)−(a−1)](c−1)

   ⇔(b−1)(a−1)(c−1)=0

   ⇒a−1=0b−1=0c−1=0

   ⇒a=1b=1c=1(đpcm)

   Bình luận

2. Ta có:

   `1/a + 1/b + 1/c = (bc + ac + ac)/(abc) = ab + bc + ca`

   `=> a + b + c = ab + bc + ca`

   `<=> a + b + c – ab – bc – ca = 0`

   `<=> a + b + c – ab – bc – ac + abc – 1 = 0`

   `<=> (a – ab) + (b – 1) + (c – bc) + (abc – ac) = 0`

   `<=> -a(b – 1) + (b – 1) – c(b – 1) + ac(b – 1) = 0`

   `<=> (b – 1)(-a + 1 -c + ac) = 0`

   `<=> (b – 1)[ (-a + 1) + (ac – c) ] = 0`

   `<=> (b – 1)[ -(a – 1) + c(a – 1) ] = 0`

   `<=> (a – 1)(b – 1)(c – 1) = 0`

   `<=> a – 1 = 0` hoặc `b – 1 = 0` hoặc `c – 1 = 0`

   `<=> a = 1` hoặc `b = 1` hoặc `c = 1`

   (đpcm).

   Bình luận