Cho ∆ ABC ( ^BAC = 90°, AC=2.AB ) . Kẻ AH vuông góc với BC tại H . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AC . Kẻ MF vuông góc với BC tại F , ME vuông góc với AH tại E a) chứng minh tứ giác MEHF là hình chữ nhật và chứng minh MF= AE b) trên tia đối của tia MB lấy điểm N sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng BN . Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng AN . chứng minh CK = 1/2BC c) Gọi P là trung điểm của đoạn thẳng BM . Chứng minh HP là tia phân giác của ^AHC
a) Xét tứ giác MEHF có
$\widehat{MFH} = \widehat{FHE} = \widehat{HEM} = 90^{\circ}$
Vậy tứ giác MEHF là hình chữ nhật, suy ra $ME//HF$
Lại có M là trung điểm AC nên ME là đường trung bình của tam giác AHC.
Suy ra E là trung điểm AH, hay AE = EH.
Lại có tứ giác MEHF là hình chữ nhật nên EH = MF.
Vậy MF = AE (=EH).
b) Do M là trung điểm NB nên MN = MB.
Lại có M là trung điểm AC, do đó M là tâm đxung của ABCN.
Vậy ABCN là hình bình hành, suy ra CN // AB.
Lại có $AB \perp AC$, suy ra $CN \perp AC$.
Xét tam giác vuông NCA có CK là đường trung tuyến ứng vs cạnh huyền nên
$CK = \dfrac{1}{2} AN$.
Lại có tứ giác ABCN là hình bình hành nên $BC = AN$.
Vậy
$CK = \dfrac{1}{2} BC$.