cho ΔABC cân tại A, có góc BAC nhọn, qua A vẽ tia phân giác BAC cắt BC tại D a, chứng minh Δ ABD= ΔACD b, Vẽ đường trung tuyến CF cuả ΔABC cắt A

Hình tự vẽ

a, Ta có: tam giác ABC cân tại A (gt) => AB = AC ; góc ABC = góc ACB  (ĐL)

Xét tam giác ACD và tam giác ABD có:

AD cạnh chung ; góc BAD = góc CAD (vì AD là tia p/g của góc BAC) ; AB = AC (cmt)

=> Tam giác ACD = tam giác ABD (c.g.c)   (đpcm)

b, Xét tam giác ABC cân tại A có: AD là tia p/g của góc BAC (gt) => AD là cũng đường trung tuyến

Ta có: 2 đường trung tuyến CF và AD cắt nhau tại G

=> G là trọng tâm của tam giác ABC   (đpcm)

c, Xét tam giác DEH và tam giác CEH có:

Góc DHE = góc CHE (=90 độ) ; EH cạnh chung ; DH = CH (vì H là TĐ của CD)

=> Tam giác DEH = tam giác CEH (c.g.c)   

=> DE = CE (2 cạnh t/ứ)

Xét tam giác CDE có CE = DE => tam giác CDE cân tại E  (DHNB)   (đpcm)

d, Xét tam giác ABG và tam giác ACG có:

AG cạnh chung ; góc BAG = góc CAG ; AB = AC (cmt)

=> Tam giác ABG = tam giác ACG   (c.g.c)

=> Góc ABG = góc ACG  (2 góc t/ứ)

      BG = CG  (2 cạnh t/ứ)

Xét tam giác BFG và tam giác CEG có:

BG = CG (cmt) ; góc BGF = góc CGE (2 góc đđ) ; góc FBG = góc ECG (cmt)

=> Tam giác BFG = tam giác CEG (g.c.g)

=> BF = CE  (2 cạnh t/ứ)

Mà BF = AB : 2 (vì F là TĐ của AB)=> CE = AB : 2

Vì AB = AC (cmt) nên CE = AC : 2

=> BE là đường trung tuyến của tam giác ABC

=> 3đ B, G, E thẳng hàng (vì G là trọng tâm của tam giác ABC)  (1)

Lại có: AD là đường trung tuyến của tam giác ABC cân tại A

=> AD cũng là đường cao của tam giác ABC

Mà góc BAD = góc BAC : 2

      góc BAC < 90 độ

=> Góc BAD < 45 độ

=> Góc ABD > 45 độ => Góc BAD < góc ABD

Xét tam giác ABD có: góc BAD < góc ABD

=> BD < AD  (ĐL)   (2)

Từ (1), (2) ta có đpcm

Trả lời