Cho ΔABC cân tại A, đường cao AD. Kẻ DH vuông góc với AC. I và M là trung điểm của DH và HC. Chứng minh
a) AM ⊥ AD
b) AI ⊥ DM
Cho ΔABC cân tại A, đường cao AD. Kẻ DH vuông góc với AC. I và M là trung điểm của DH và HC. Chứng minh
a) AM ⊥ AD
b) AI ⊥ DM
Lời giải:
a) Sửa đề: Chứng minh $IM\perp AD$
Xét $\triangle DHC$ có:
$\begin{cases}ID = IH =\dfrac12DH\quad (gt)\\MC = MH =\dfrac12HC\quad (gt)\end{cases}$
$\Rightarrow IM$ là đường trung bình
$\Rightarrow IM//CD$
mà $CD\perp AD\quad (AD\perp BC:\ gt)$
nên $IM\perp AD$
b) Xét $\triangle ADM$ có:
$MI$ là đường cao từ đỉnh $M\ (MI\perp AD)$
$DH$ là đường cao từ đỉnh $D\ (DH\perp AM)$
$I$ là giao điểm của $MI$ và $DH$
$\Rightarrow I$ là trực tâm của $\triangle ADM$
$\Rightarrow AI$ là đường cao từ đỉnh $A$
hay $AI\perp DM$