Cho ΔABC cân tại A,hai đường cao AD và BE.Cho biết BE = 2k,BC = 2m,AD = n .Chứng minh: 1/k^2=1/m^2 +1/n^2 28/08/2021 Bởi Eliza Cho ΔABC cân tại A,hai đường cao AD và BE.Cho biết BE = 2k,BC = 2m,AD = n .Chứng minh: 1/k^2=1/m^2 +1/n^2
Gọi $F$ là điểm đối xứng của $C$ qua $A$ Ta được $AF=AC=AB$ $A, F, C$ thẳng hàng $\Rightarrow ∆BFC$ vuông tại $B$ Ta có: $∆ABC$ cân tại $A$ $(gt)$ $AD\perp BC$ $(gt)$ $\Rightarrow BD = DC$ mà $AF = AC$ $\Rightarrow AD//BF; \, AD = \dfrac{BF}{2}$ (tính chất đường trung bình) Áp dụng hệ thức lượng vào $∆BFC$ vuông tại $B$, đường cao $BE$ ta được: $\dfrac{1}{BE^2} = \dfrac{1}{BF^2} + \dfrac{1}{BC^2}$ $\Leftrightarrow\dfrac{1}{BE^2} = \dfrac{1}{4AD^2} + \dfrac{1}{BC^2}$ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{4k^2} = \dfrac{1}{4n^2} + \dfrac{1}{4m^2}$ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{k^2} = \dfrac{1}{n^2} + \dfrac{1}{m^2}$ (đpcm) Bình luận
Gọi $F$ là điểm đối xứng của $C$ qua $A$
Ta được $AF=AC=AB$
$A, F, C$ thẳng hàng
$\Rightarrow ∆BFC$ vuông tại $B$
Ta có: $∆ABC$ cân tại $A$ $(gt)$
$AD\perp BC$ $(gt)$
$\Rightarrow BD = DC$
mà $AF = AC$
$\Rightarrow AD//BF; \, AD = \dfrac{BF}{2}$ (tính chất đường trung bình)
Áp dụng hệ thức lượng vào $∆BFC$ vuông tại $B$, đường cao $BE$ ta được:
$\dfrac{1}{BE^2} = \dfrac{1}{BF^2} + \dfrac{1}{BC^2}$
$\Leftrightarrow\dfrac{1}{BE^2} = \dfrac{1}{4AD^2} + \dfrac{1}{BC^2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{4k^2} = \dfrac{1}{4n^2} + \dfrac{1}{4m^2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{k^2} = \dfrac{1}{n^2} + \dfrac{1}{m^2}$ (đpcm)