Cho ΔABC cân tại A. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E. Sao cho BD=CE. Gọi I là giao điểm của BE và CD( KHÔNG CẦN VẼ HÌNH NHA!!)
a)CM: IB=IC; ID=IE
b) CM: BC song song với DE
c) Gọi M là trung điểm BC
CM: A,M,I thẳng hàng
a.
+ Ta có: $BD = CE$ (gt)
$AB = AC$ ($∆ABC$ cân tại $A$).
⇒$AB + BD = AC + CE$
⇒$AD = AE$.
+ Xét $∆ACD$ và $∆ABE$, ta có:
$\left\{ \begin{array} x AC = AB \\ \widehat{A}: chung\\ AD = AE \\ \end{array} \right.$
⇒$∆ACD = ∆ABE$ (c.g.c)
⇒$\widehat{ACD} = \widehat{ABE}$
⇒ $180° – \widehat{ACD} = 180° – \widehat{ABE}$
⇒$\widehat{ICE} = \widehat{IBD}$
+ Xét $∆ICE$ và $∆IBD$, ta có:
$\left\{ \begin{array} x\widehat{ICE} = \widehat{IBD} \\ CE = BD\\ \widehat{E_{1}} = \widehat{D_{1}} (∆AEB = ∆ADC ) \\ \end{array} \right.$
⇒$∆ICE = ∆IBD$ (c.g.c)
⇒$\left \{ {{IC = IB} \atop {IE = ID}} \right.$ (đpcm).
b.
+ Ta có: $IB = IC$ ⇒$∆IBC$ cân tại $I$.
⇒$\widehat{IBC} = \frac{180° – \widehat{BIC}}{2} = 90° – \frac{\widehat{BIC}}{2}$ $(1)$
+ Ta có: $ID = IE$ ⇒$∆IDE$ cân tại $I$.
⇒$\widehat{IDE} = \frac{180° – \widehat{DIE}}{2} = 90° – \frac{\widehat{DIE}}{2}$ $(2)$
+ Mà: $\widehat{BIC} = \widehat{DIE}$ $(3)$
+ Từ $(1)$, $(2)$ và $(3)$ ⇒$\widehat{IBC} = \widehat{IED}$
⇒$BC // DE$ (đpcm).
c.
+ Xét $∆ABM$ và $∆AMC$, ta có:
$\left\{ \begin{array}x AB = AC \\ AM: chung \\ MB = MC (gt) \\ \end{array} \right.$
⇒$∆AMB = ∆AMC$
⇒$\widehat{BAM} = \widehat{CAM}$
⇒$\widehat{AM}$ là phân giác $\widehat{BAC}$
+ Xét $∆AIB$ và $∆AIC$, ta có:
$\left\{ \begin{array}x AB = AC \\ AI: chung \\ IB = IC \\ \end{array} \right.$
⇒$∆AIB = ∆AIC$ (c.g.c)
⇒$\widehat{BAI} = \widehat{CAI}$
⇒$AI$ là phân giác $\widehat{BAC}$
⇒$AI$ và $AM$ trùng nhau.
⇒$A, I, M$ thẳng hàng.
XIN HAY NHẤT.
Đáp án:
`a)`
Ta có : `AB + BD = AD; AC + CE = AE`
mà `AB = AC` (vì `ΔABC` cân tại `A`); `BD = CE (GT)`
`⇒ AD = AE`
Xét `ΔCAD` và `ΔBAE` có :
`hat{A}` chung
`AB = AC` (vì `ΔABC` cân tại `A`)
`AD = AE (cmt)`
`⇒ ΔCAD = ΔBAE (c.g.c)`
`⇒ hat{ADC} = hat{AEB}` (2 góc tương ứng)
Ta có : `hat{ADC} + hat{DIB} + hat{DBI} = 180^o` (Định lí tổng 3 góc trong 1 Δ)
Ta có : `hat{AEB} + hat{EIC} + hat{ECI} = 180^o` (Định lí tổng 3 góc trong 1 Δ)
mà `hat{ADC} = hat{AEB} (cmt); hat{DIB} = hat{EIC}` (2 góc đối đỉnh)
`⇒ hat{DBI} = hat{ECI}`
Xét `ΔDBI` và `ΔECI` có :
`hat{ADC} = hat{AEB} (cmt)`
`hat{DBI} = hat{ECI} (cmt)`
`BD = CE (GT)`
`⇒ ΔDBI = ΔECI (g.c.g)`
`⇒ IB = IC` (2 cạnh tương ứng)
`⇒ ID = IE` (2 cạnh tương ứng)
`b)` bạn xem lại, đề sai không ạ
`c)`
Xét `ΔAMB` và `ΔAMC` có :
`AM` chung
`AB = AC` (vì `ΔABC` cân tại `A`)
`BM = CM (GT)`
`⇒ ΔAMB = ΔAMC (c.c.c)`
`⇒ hat{BAM} = hat{CAM}` (2 góc tương ứng)
hay `AM` là tia phân giác của `hat{BAC}` (1)
Xét `ΔAIB` và `ΔAIC` có :
`AI` chung
`AB = AC` (vì `ΔABC` cân tại `A`)
`IB = IC (cmt)`
`⇒ ΔAIB = ΔAIC (c.c.c)`
`⇒ hat{BAI} = hat{CAI}` (2 góc tương ứng)
hay `AI` là tia phân giác của `hat{BAC}` (2)
Từ (1) và (2)
`⇒ A,M,I` thẳng hàng