Cho Δ ABC không vuông. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O, cắt đường thẳng BC theo thứ tự ở M và N. Chứng minh rằng AO là tia phân giác

0 bình luận về “Cho Δ ABC không vuông. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O, cắt đường thẳng BC theo thứ tự ở M và N. Chứng minh rằng AO là tia phân giác”

1. Ta có $O$ là giao 2 đường trung trực của $AB;AC$

   $⇒O$ là giao 3 đường trung trực $ΔABC$

   $⇒OA=OB=OC$

   $⇒ΔOAB;ΔOAC$ cân tại $A$

   $⇒\widehat{OBA}=\widehat{OAB}(1);\widehat{OAC}=\widehat{OCA}(2)$

   $M∈$ đường trung trực của $AB⇒MA=MB⇒ΔMAB$ cân tại $M⇒\widehat{MAB}=\widehat{MBA}(3)$

   $N∈$ đường trung trực của $AC⇒NA=NC⇒ΔNAC$ cân tại $N⇒\widehat{NAC}=\widehat{NCA}(4)$

   Từ $(1);(3)⇒\widehat{OBA}-\widehat{MBA}=\widehat{OAB}-\widehat{MAB}$

   Hay $\widehat{OBM}=\widehat{OAM}=\widehat{OBC}(5)$

   Chứng minh tương tự với $(2)(4)$ ta có: $\widehat{OAC}-\widehat{NAC}=\widehat{OCA}-\widehat{NCA}$

   Hay $\widehat{OAN}=\widehat{OCN}=\widehat{OCB}(6)$

   Mà $OB=OC(cmt)⇒\widehat{OBC}=\widehat{OCB}(7)$

   Từ $(5)(6)(7)⇒\widehat{OBM}=\widehat{OAN}$

   Hay $AO$ là phân giác $\widehat{MAN}$

    

   Trả lời

2.  Xét ΔBHM (∠BHM = 90độ) và ΔAHM (∠AHM = 90độ)          

             BH = HA (gt)         

             MH chung

   => ΔBHM = ΔAHM (2 cạnh góc vuông)

   => ∠M1 = ∠M2 (2 góc tương ứng)

   mà ∠M1 = ∠M4 (2 góc đối đỉnh)     

         ∠M2 =  ∠M3 (2 góc đối đỉnh)

   Nên ∠M3 = ∠M4

   Chứng minh tương tự như trên, ta có:        

           ∠N₃ = ∠N₄

   => ΔMAN có phân giác góc ngoài NMx và MNy cắt nhau tại O

   => AO là phân giác góc MAN (đpcm)

   Chúc bạn học tốt

   Xin ctlhn ạ 

    

   Trả lời