Cho Δ ABC không vuông. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O, cắt đường thẳng BC theo thứ tự ở M và N. Chứng minh rằng AO là tia phân giác

Ta có $O$ là giao 2 đường trung trực của $AB;AC$

$⇒O$ là giao 3 đường trung trực $ΔABC$

$⇒OA=OB=OC$

$⇒ΔOAB;ΔOAC$ cân tại $A$

$⇒\widehat{OBA}=\widehat{OAB}(1);\widehat{OAC}=\widehat{OCA}(2)$

$M∈$ đường trung trực của $AB⇒MA=MB⇒ΔMAB$ cân tại $M⇒\widehat{MAB}=\widehat{MBA}(3)$

$N∈$ đường trung trực của $AC⇒NA=NC⇒ΔNAC$ cân tại $N⇒\widehat{NAC}=\widehat{NCA}(4)$

Từ $(1);(3)⇒\widehat{OBA}-\widehat{MBA}=\widehat{OAB}-\widehat{MAB}$

Hay $\widehat{OBM}=\widehat{OAM}=\widehat{OBC}(5)$

Chứng minh tương tự với $(2)(4)$ ta có: $\widehat{OAC}-\widehat{NAC}=\widehat{OCA}-\widehat{NCA}$

Hay $\widehat{OAN}=\widehat{OCN}=\widehat{OCB}(6)$

Mà $OB=OC(cmt)⇒\widehat{OBC}=\widehat{OCB}(7)$

Từ $(5)(6)(7)⇒\widehat{OBM}=\widehat{OAN}$

Hay $AO$ là phân giác $\widehat{MAN}$