Cho ΔABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. 1, Chứng minh rằng : AE.AC = AF.AB và ^AEF = ^ABC 2, Chứng minh rằng : Nếu $S_{AEF}=S_{BDF}=

Cho ΔABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
1, Chứng minh rằng : AE.AC = AF.AB và ^AEF = ^ABC
2, Chứng minh rằng : Nếu $S_{AEF}=S_{BDF}=S_{CDE}$ thì ΔABC đều.
3, Chứng minh rằng : Nếu $\frac{AH}{BC}=\frac{BH}{AC}=\frac{CH}{AB}$ thì ΔABC đều.
4, Cho ^BAC = 60°. Chứng minh rằng : $S_{BFEC}=3S_{AEF}$

0 bình luận về “Cho ΔABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. 1, Chứng minh rằng : AE.AC = AF.AB và ^AEF = ^ABC 2, Chứng minh rằng : Nếu $S_{AEF}=S_{BDF}=”

  1. Đáp án:

     

    Giải thích các bước giải:

     

    1)$ ΔABE ≈ ΔACF (g.g) (∠AEB = ∠AFC = 90^{0};$ chung $∠A$)

    $ ⇒ \dfrac{AE}{AB} = \dfrac{AF}{AC} (1)⇔ AE.AC = AF.AB (đpcm)$

    $ (1)⇔ \dfrac{AE}{AF} = \dfrac{AB}{AC} ⇒ ΔAEF ≈ ΔABC$

    ( chung $∠A$ xen giữa cặp cạnh tương ứng tỷ lệ )$ ⇒∠AEF = ∠ABC (đpcm)$

    2) Vẽ $FG⊥AE (G∈AE)⇒ FG//BE ⇒ \dfrac{BE}{FG} = \dfrac{AB}{AF} $

    $ \dfrac{S_{ABC}}{S_{AEF}} = \dfrac{2S_{ABC}}{2S_{AEF}} = \dfrac{BE.AC}{FG.AE} = \dfrac{BE}{FG}.\dfrac{AC}{AE} $

    $ = \dfrac{AB}{AF}.\dfrac{AC}{AE} = \dfrac{AB}{AE}.\dfrac{AC}{AF} =(\dfrac{AB}{AE})² (2)$

    Tương tự hoán vị ta có: $\dfrac{S_{ABC}}{S_{BDF}} = (\dfrac{BC}{BF})² (3)$

    Mà theo GT $ : S_{AEF} = S_{BDF} ⇒ (\dfrac{AB}{AE})² = (\dfrac{BC}{BF})²$

    $ ⇔\dfrac{AB² + BE²}{AE²} = \dfrac{BF² + CF²}{BF²} ⇔ 1 + \dfrac{BE²}{AE²} = 1 + \dfrac{CF²}{BF²}$

    $  \dfrac{BE²}{AE²} = \dfrac{CF²}{BF²} ⇔ \dfrac{BE}{AE} = \dfrac{CF}{BF}$

    $ ⇒ ΔABE ≈ ΔBCF ⇔ ∠BAE = ∠CBF (*)$

    Tương tự hoán vị $: ∠CBF = ∠ ACD (**)$

    $(*); (**) ⇒ ΔABC $ đều (đpcm)

    3) $ \dfrac{AH}{BC} = \dfrac{BH}{AC} ⇔  \dfrac{AH}{BH} = \dfrac{AB}{AC}$

    Mà $∠CAH = ∠CBH $ ( cùng phụ với $∠ACB$)

    $ ⇒ ΔACH ≈ ∠BCH ⇒ ΔACH = ∠BCH$

    (chung cạnh $CH) ⇒ AC = BC$

    Tương tự hoán vị $: BC = AB ⇒ ΔABC$ đều

    4) Áp dungj kết quả câu 1) và câu 2)

    $∠BAE = ∠BAC = 60^{0} ⇔ ΔABE $ là nửa tam giác đều

    $⇒AB = 2AE ⇒ \dfrac{AB}{AE} = 2 ⇒ \dfrac{S_{ABC}}{S_{AEF}} =(\dfrac{AB}{AE})² = 4 $

    $ ⇔ \dfrac{S_{AEF} + S_{BFEC}}{S_{AEF}} = 4 ⇔ 1 + \dfrac{ S_{BFEC}}{S_{AEF}} = 4 $

    $ ⇔ \dfrac{S_{BFEC}}{S_{AEF}} = 3⇔ S_{BFEC} = 3S_{AEF}(đpcm)$

    Bình luận

Viết một bình luận