Cho ΔABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
1, Chứng minh rằng : AE.AC = AF.AB và ^AEF = ^ABC
2, Chứng minh rằng : Nếu $S_{AEF}=S_{BDF}=S_{CDE}$ thì ΔABC đều.
3, Chứng minh rằng : Nếu $\frac{AH}{BC}=\frac{BH}{AC}=\frac{CH}{AB}$ thì ΔABC đều.
4, Cho ^BAC = 60°. Chứng minh rằng : $S_{BFEC}=3S_{AEF}$
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
1)$ ΔABE ≈ ΔACF (g.g) (∠AEB = ∠AFC = 90^{0};$ chung $∠A$)
$ ⇒ \dfrac{AE}{AB} = \dfrac{AF}{AC} (1)⇔ AE.AC = AF.AB (đpcm)$
$ (1)⇔ \dfrac{AE}{AF} = \dfrac{AB}{AC} ⇒ ΔAEF ≈ ΔABC$
( chung $∠A$ xen giữa cặp cạnh tương ứng tỷ lệ )$ ⇒∠AEF = ∠ABC (đpcm)$
2) Vẽ $FG⊥AE (G∈AE)⇒ FG//BE ⇒ \dfrac{BE}{FG} = \dfrac{AB}{AF} $
$ \dfrac{S_{ABC}}{S_{AEF}} = \dfrac{2S_{ABC}}{2S_{AEF}} = \dfrac{BE.AC}{FG.AE} = \dfrac{BE}{FG}.\dfrac{AC}{AE} $
$ = \dfrac{AB}{AF}.\dfrac{AC}{AE} = \dfrac{AB}{AE}.\dfrac{AC}{AF} =(\dfrac{AB}{AE})² (2)$
Tương tự hoán vị ta có: $\dfrac{S_{ABC}}{S_{BDF}} = (\dfrac{BC}{BF})² (3)$
Mà theo GT $ : S_{AEF} = S_{BDF} ⇒ (\dfrac{AB}{AE})² = (\dfrac{BC}{BF})²$
$ ⇔\dfrac{AB² + BE²}{AE²} = \dfrac{BF² + CF²}{BF²} ⇔ 1 + \dfrac{BE²}{AE²} = 1 + \dfrac{CF²}{BF²}$
$ \dfrac{BE²}{AE²} = \dfrac{CF²}{BF²} ⇔ \dfrac{BE}{AE} = \dfrac{CF}{BF}$
$ ⇒ ΔABE ≈ ΔBCF ⇔ ∠BAE = ∠CBF (*)$
Tương tự hoán vị $: ∠CBF = ∠ ACD (**)$
$(*); (**) ⇒ ΔABC $ đều (đpcm)
3) $ \dfrac{AH}{BC} = \dfrac{BH}{AC} ⇔ \dfrac{AH}{BH} = \dfrac{AB}{AC}$
Mà $∠CAH = ∠CBH $ ( cùng phụ với $∠ACB$)
$ ⇒ ΔACH ≈ ∠BCH ⇒ ΔACH = ∠BCH$
(chung cạnh $CH) ⇒ AC = BC$
Tương tự hoán vị $: BC = AB ⇒ ΔABC$ đều
4) Áp dungj kết quả câu 1) và câu 2)
$∠BAE = ∠BAC = 60^{0} ⇔ ΔABE $ là nửa tam giác đều
$⇒AB = 2AE ⇒ \dfrac{AB}{AE} = 2 ⇒ \dfrac{S_{ABC}}{S_{AEF}} =(\dfrac{AB}{AE})² = 4 $
$ ⇔ \dfrac{S_{AEF} + S_{BFEC}}{S_{AEF}} = 4 ⇔ 1 + \dfrac{ S_{BFEC}}{S_{AEF}} = 4 $
$ ⇔ \dfrac{S_{BFEC}}{S_{AEF}} = 3⇔ S_{BFEC} = 3S_{AEF}(đpcm)$