cho ΔABC nhon co H la truc tam . cmr
HA+HB+HC < 2\3 AB+BC+CA
cho ΔABC nhon co H la truc tam . cmr HA+HB+HC < 2\3 AB+BC+CA
By Reagan
By Reagan
cho ΔABC nhon co H la truc tam . cmr
HA+HB+HC < 2\3 AB+BC+CA
Phụ huynh gặp khó khăn cân bằng công việc và dạy con chương trình mới. Hãy để dịch vụ gia sư của chúng tôi giúp bạn giảm bớt áp lực, cung cấp kiến thức chuyên sâu và hỗ trợ con bạn học tập hiệu quả.
Đáp án+Giải thích các bước giải:
Kẻ HD//AB,HE//AC⇒AD=HE;AE=AH
Theo BĐT trong tam giác :AH<AE+HE=AE+AD
ΔHDC vuông tại H :HC<DC: HB<BE⇒HA+HB+HC<AE+AD+BE+DC=AB+AC
Chứng minh tương tự ta được:
HA+HB+HC<AB+BC
HA+HB+HC<AC+BC
⇒ 3(HA+HB+HC)<2(AB+AC+BC)
⇒ HA + HB + HC <$\dfrac{2}{3}$ (AB+AC+BC)(ĐPCM)
Đáp án:
Từ trực tâm H kẻ HD//AB, HE//AC (E thuộc AB, D thuộc AC)
HE//AC. Mà BH vuông góc với AC => BH vuông góc với HE (Quan hệ song song vuông góc)
=> HB<EB (Quan hệ đường xiên, đường vuông góc) (1)
HE//AD, HD//AE => HE=AD, HD=AE (Tính chất đoạn chắn)
Ta có: HA<AD+HD (BĐT tam giác). Thay HD=AE vào biểu thức bên: HA<AD+AE (2)
Tương tự: HD//AB, CH vuông góc với AB => CH vuông góc với HD
=> HC<DC (Đường xiên, đường vuông góc) (3)
Từ (1), (2) và (3) => HA+HB+HC<EB+AD+AE+DC => HA+HB+HC<(EB+AE)+(AD+DC)
=> HA+HB+HC<AB+AC. (4)
Tương tự bạn giải ra: HA+HB+HC<AB+BC (5)
HA+HB+HC<AC+BC (6)
Từ (4),(5) và (6) => 3(HA+HB+HC)<(AB+AC)+(AB+BC)+(AC+BC) (Cộng vế với vế)
=> 3(HA+HB+HC)<2AB+2AC+2BC => 3(HA+HB+HC)<2(AB+AC+BC)
hay 2(AB+AC+BC)>3(HA+HB+HC) (đpcm)
Giải thích các bước giải: