cho ΔABC nhon co H la truc tam . cmr HA+HB+HC < 2\3 AB+BC+CA

0 bình luận về “cho ΔABC nhon co H la truc tam . cmr HA+HB+HC < 2\3 AB+BC+CA”

1. Đáp án+Giải thích các bước giải:

   Kẻ HD//AB,HE//AC⇒AD=HE;AE=AH

   Theo BĐT trong tam giác :AH<AE+HE=AE+AD

   ΔHDC vuông tại H :HC<DC: HB<BE⇒HA+HB+HC<AE+AD+BE+DC=AB+AC

   Chứng minh tương tự ta được:

   HA+HB+HC<AB+BC

   HA+HB+HC<AC+BC

   ⇒ 3(HA+HB+HC)<2(AB+AC+BC)

   ⇒ HA + HB + HC <$\dfrac{2}{3}$  (AB+AC+BC)(ĐPCM)

   Trả lời

2. Đáp án:

   Từ trực tâm H kẻ HD//AB, HE//AC (E thuộc AB, D thuộc AC)

   HE//AC. Mà BH vuông góc với AC => BH vuông góc với HE (Quan hệ song song vuông góc)

   => HB<EB (Quan hệ đường xiên, đường vuông góc) (1)

   HE//AD, HD//AE => HE=AD, HD=AE (Tính chất đoạn chắn)

   Ta có: HA<AD+HD (BĐT tam giác). Thay HD=AE vào biểu thức bên: HA<AD+AE (2)

   Tương tự: HD//AB, CH vuông góc với AB => CH vuông góc với HD

   => HC<DC (Đường xiên, đường vuông góc) (3)

   Từ (1), (2) và (3) => HA+HB+HC<EB+AD+AE+DC => HA+HB+HC<(EB+AE)+(AD+DC)

                              => HA+HB+HC<AB+AC.  (4)

   Tương tự bạn giải ra: HA+HB+HC<AB+BC   (5) 

                                   HA+HB+HC<AC+BC   (6)

   Từ (4),(5) và (6) => 3(HA+HB+HC)<(AB+AC)+(AB+BC)+(AC+BC) (Cộng vế với vế)

                          => 3(HA+HB+HC)<2AB+2AC+2BC => 3(HA+HB+HC)<2(AB+AC+BC)

                           hay 2(AB+AC+BC)>3(HA+HB+HC) (đpcm) 

    

   Giải thích các bước giải:

    

   Trả lời