Cho ` ΔABC` vuông ở $\widehat{A}, có $\widehat{C}$ = `30^o`, AH `⊥` BC `(H ∈ BC)`. Trên đoạn `HC` lấy điểm $\widehat{D} sao cho `HD = HB`. Từ C kẻ CE `⊥` AD. Chứng minh :
a) `ΔABD` là tam giác đều
b) `AH = CE`
c) `EH // AC`
Cho ` ΔABC` vuông ở $\widehat{A}, có $\widehat{C}$ = `30^o`, AH `⊥` BC `(H ∈ BC)`. Trên đoạn `HC` lấy điểm $\widehat{D} sao cho `HD = HB`. Từ C kẻ CE `⊥` AD. Chứng minh :
a) `ΔABD` là tam giác đều
b) `AH = CE`
c) `EH // AC`
a) Xét `ΔABH` và `ΔADH` ta có :$\widehat{AHB}$=$\widehat{AHD}$ (=`90^{o}`)
HB=HD (gt)
AH: cạnh chung
`=>ΔABH=ΔADH` ( 2 cgv )
`=>` $\widehat{ABH}$=$\widehat{ADH}$ ( 2 cạnh tương ứng )
hay $\widehat{ABD}$=$\widehat{ADB}$ (1)
Ta có : $\widehat{A}$+$\widehat{B}$+$\widehat{C}$=`180^o` ( tổng 3 góc Δ )
`=>90^o`+$\widehat{B}$+`30^o` =`180^o`
`=>` $\widehat{B}$=`60^o` (2)
Từ (1),(2) `=>ΔABD` là Δ đều
b)Ta có : `ΔABD` là Δ đều
`=>` $\widehat{BAD}$=`60^o`
`=> `$\widehat{DAC}$=`60^o`
`=> ΔDAC` cân tại D
`=>` DA=DC
Xét ΔHAD và ΔECD ta có : $\widehat{DHA}$=$\widehat{DEC}$ (=`90^{o}`)
$\widehat{HDA}$=$\widehat{EDC}$ (2 góc đối đỉnh )
DA=DC ( gt )
`=> ΔHAD=ΔECD` ( ch-gn )
`=>` AH=CE ( 2 cạnh tương ứng )
c) Ta có ΔHAD=ΔECD ( câu b )
`=>` DH=DE (2 canh tương ứng )
`=>ΔDHE` cân tại D
`=>` $\widehat{DHE}$=$\widehat{DEH}$
Ta có :$\widehat{DHE}$+$\widehat{DEH}$+$\widehat{HDE}$=$\widehat{DAC}$+$\widehat{DCA}$+$\widehat{ADC}$ ( `=180^o`)
mà $\widehat{HDE}$=$\widehat{ADC}$ ( 2 góc đối đỉnh )
`=>` $\widehat{DHE}$+$\widehat{DEH}$=$\widehat{DAC}$+$\widehat{DCA}$
`=>` 2.$\widehat{DHE}$=2.$\widehat{DCA}$
`=>` $\widehat{DHE}$=$\widehat{DCA}$
mà 2 góc này ở vị trí so le trong
`=>EH//AC`
$\text{Xin hay nhất }$