Cho ABC vuông tại A có AB < AC.Gọi D, E lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AC. Trên tia đối của tia DE lấy điểm F sao cho D là trung điểm của cạnh EF. a) Chúng minh tứ giác BFCE là hình bình hành. b) Chứng minh tứ giác BFEA là hình chữ nhật. c) Gọi K là điểm đối xứng với F qua E. Chứng minh tứ giác AFCK là hình thoi. d) Vẽ AH BC tại H. Gọi M là trung điểm của HC. Chứng minh FM AM.
Giải thích các bước giải:
a,
Tứ giác BFCE có 2 đường chéo BC và FE cắt nhau tại trung điểm D của mỗi đường nên BFCE là hình bình hành.
BFCE là hình bình hành và E là trung điểm AC nên \(\left\{ \begin{array}{l}
BF = EC = AE\\
BF//EC//AE
\end{array} \right.\)
Suy ra BFEA là hình bình hành
Mà tam giác ABC vuông ở A nên BFEA là hình chữ nhật
c,
DE là đường trung bình trong tam giác ABC nên \(\left\{ \begin{array}{l}
DE//AB\\
AB \bot AC
\end{array} \right. \Rightarrow DE \bot AC\)
K đối xứng với F qua E hay E là trung điểm của FK
Tứ giác FAKC có 2 đường chéo FK và AC vuông góc và cắt nhau tại trung điểm E của mỗi đường nên AFCK là hình thoi
d,
Gọi I là giao điểm của hai đường chéo BE và AF trong hình chữ nhật BFEA
Suy ra I là trung điểm BE và AF và \(BE = FA\)
ME là đường trung bình của tam giác AHC nên \(ME//AH \Rightarrow ME \bot AH\)
Tam giác BME vuông tại M có trung tuyến MI nên \(MI = \frac{1}{2}BE = \frac{1}{2}FA\)
Tam giác FAM có trung tuyến MI thỏa mãn \(MI = \frac{1}{2}FA\) nên tam giác FAM vuông tại M
Hay \(FM \bot AM\)