Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F là hình chiếu của H lên AB, AC. CMR: a)`BC^2=3AH^2+BE^2+CF^2` b)`\frac{AB^2}{AC^2}“=“\frac{HB}{HC}` c)

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 a) Ta có: `BC^2=AB^2+AC^2`

`BC^2=AH^2+BH^2+AH^2+HC^2`

`BC^2=2AH^2+BE^2+EH^2+HF^2_FC^2`

`BC^2=2AH^2+BE^2+FC^2+AH^2` (do `HE^2+HF^2=EF^2=AH^2)`

`BC^2=3AH^2+BE^2+CF^2` (đpcm)

b) Áp dụng HTL trong tam giác:

`AB^2=BH.BC`

`AC^2=CH.BC`

`⇒ \frac{AB^2}{AC}=\frac{HB}{HC}` (đpcm)

c) `AB^3=AB.BH.BC=AB.BC.\sqrt{BE.AB}` (do `BH^2=BE.BA)`

`AC^3=CH.BC.AC=AC.BC.\sqrt{CF.AC}`

`⇒ \frac{AB^3}{AC^{3}}=\frac{AB.BC.\sqrt{BE.AB}}{AC.BC.\sqrt{CF.AC}}`

`⇒ \frac{AB^6}{AC^{6}}=\frac{BE.AB^3}{CF.AC^3}`

`⇒ \frac{AB^3}{AC^{3}}=\frac{BE}{CF}`

d) Nhân AH cả 2 vế ta có:

`AH^4=BC.HE.HF.AH`

`⇔ AH^4=AB.AC.HE.HF`

`⇔ AH^4=AH.BH.AH.CH`

`⇔ AH^4=AH^2.AH^2=AH^4`

`⇒` DPCM

e) Cmtt như câu d

f) Xét `\Delta AHB` có:

`BE=\frac{BH^2}{BA}`

`⇔ BE^2=\frac{BH^{4}}{BA^{2}}=\frac{BH^{4}}{BH.BC}=\frac{BH^3}{BC}\ (1)`

Tương tự ta được: `CF^2=\frac{CH^3}{BC}\ (2)`

Từ `(1),(2)`

`⇒` $\sqrt[3]{BE^2}+\sqrt[3]{CF^2}=\dfrac{BH}{\sqrt[3]{BC^2}}+\dfrac{CH}{\sqrt[3]{BC^2}}=\dfrac{BC}{\sqrt[3]{BC^2}}=\sqrt[3]{BC^2}$ 

`⇒ ĐPCM`