Cho ABC vuông tại A , đường cao AH .Gọi I,K lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC Chứng minh rằng: a. Tứ giác AIHK là hình chữ nhật. b. AHB đồng dạng với ABC và AB^2=BC.BH c. Gọi M là trung điểm của BC , N là giao điểm của AM với BC . Chứng minh rằng: AN=IK^2/BC
a) Tứ giác AIHK có góc H=K=I=A=90độ
=> AIHK LÀ HÌNH CHỮ NHẬT ( tỨ GIÁC CÓ 3 GÓC VUÔNG)
B) XÉT TAM GIÁC AHB VÀ TAM GIÁC AIH CÓ
H=I=90 ĐỘ
GÓC A CHUNG
DO ĐÓ AHB đồng dạng với tam giác AIH (G.G)
MÀ ABH đồng dạng với tam giác ABC
=> AHI đồng dạng với tam giác ABC
=> AI/IH = AC/AB(CÁC CẠNH TƯƠNG ỨNG)
MÀ HI=HK (CÁC CẠNH ĐỐI CỦA HÌNH CHỮ NHẬT)
=> AI/HK = AC/AB HAY AI.AB=AK.AC
Đáp án:
a) Tứ giác AIHK có góc H=K=I=A=90°
=> AIHK là hình chữ nhật ( tứ giác có 4 góc vuông)
b)Xét ∆AHB và ∆AIH có:
Góc H=I=90°
Góc A chung
=>∆AHB đồng dạng với ∆AIH(1) (g.g)
MÀ ∆ABH đồng dạng với ∆ABC(2)
Từ (1) và (2)=> ∆AHI đồng dạng với ∆ABC
=> AI/IH = AC/AB(3)(2 cạnh tương ứng)
Mà HI=HK(4) (2 cạnh đối nhau của hình chữ nhật )
Từ (3)và (4)=> AI/HK = AC/AB hay AI.AB=AK.AC(đpcm)