Cho `Δ ABC` vuông tại `A`, đường phân giác `BM`. Kẻ `MN ⊥ BC` `(N ∈ BC)`. Tia `BA ∩ NM = {I}`. Chứng minh rằng:
`a) ΔBAM = ΔBNM`.
`b) BM` là đường trung trực của đoạn thẳng `AN`.
`c) ΔIMC` cân.
Cho `Δ ABC` vuông tại `A`, đường phân giác `BM`. Kẻ `MN ⊥ BC` `(N ∈ BC)`. Tia `BA ∩ NM = {I}`. Chứng minh rằng:
`a) ΔBAM = ΔBNM`.
`b) BM` là đường trung trực của đoạn thẳng `AN`.
`c) ΔIMC` cân.
Lời giải:
a) Xét $\triangle BAM$ và $\triangle BNM$ có:
$\begin{cases}\widehat{A}=\widehat{N}= 90^\circ\\\widehat{ABM}=\widehat{NBM}=\dfrac12\widehat{ABC}\quad (gt)\\BM:\ \text{cạnh chung}\end{cases}$
Do đó: $\triangle BAM=\triangle BNM$ (cạnh huyền – góc nhọn)
b) Ta có: $\triangle BAM=\triangle BNM$ (câu a)
$\Rightarrow \begin{cases}BA = BN\\MA =MN\end{cases}$ (hai cạnh tương ứng)
$\Rightarrow BM$ là đường trung trực của $AN$ (định lí 2)
c) Xét $\triangle AIM$ và $\triangle NCM$ có:
$\begin{cases}\widehat{A}=\widehat{N}=90^\circ\\MA = MN\quad \text{(câu b)}\\\widehat{AMI}=\widehat{CMN}\quad \text{(đối đỉnh)}\end{cases}$
Do đó: $\triangle AIM=\triangle NCM$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)
$\Rightarrow MI = MC$ (hai cạnh tương ứng)
Xét $\triangle IMC$ có:
$MI = MC\quad (cmt)$
Do đó $\triangle IMC$ cân tại $M$
Đáp án :
$a/$
Vì `BM` là đường phân giác của `hat{B}`
`-> hat{ABM} = hat{NBM}`
$\\$
Xét `ΔABM` và `ΔNBM` có :
\(\left\{ \begin{array}{l}\widehat{BAM}=\widehat{BNM}=90^o (GT)\\BM chung\\\widehat{ABM}=\widehat{NBM} (cmt)\end{array} \right.\)
`-> ΔABM = ΔNBM` (cạnh huyền – góc nhọn)
$\\$
$\\$
Vì `ΔABM = ΔNBM (cmt)`
`-> AB = NB` (2 cạnh tương ứng)
`-> B` nằm trên đường trung trực của `AN (1)`
$\\$
Vì `ΔABM = ΔNBM (cmt)`
`-> AM = NM` (2 cạnh tương ứng)
`-> M` nằm trên đường trung trực của `AN (2)`
$\\$
Từ `(1), (2)`
`-> BM` là đường trung trực của `AN`
$\\$
$\\$
$c/$
Xét `ΔAMI` và `ΔNMC` có :
\(\left\{ \begin{array}{l}\widehat{IAM}=\widehat{CNM}=90^o (GT)\\AM=NM (cmt)\\\widehat{AMI}=\widehat{NMC} \end{array} \right.\)
`-> ΔAMI = ΔNMC` (góc – cạnh – góc)
`-> MI = MC` (2 cạnh tương ứng)
$\\$
`-> ΔIMC` cân tại `M`