Toán Cho ánh xạ tuyến tính Xét ánh xạ f:R^2->R^3 xác định bởi: f(x,y)=(x+2y,2x-y,x-y) 16/07/2021 By Sarah Cho ánh xạ tuyến tính Xét ánh xạ f:R^2->R^3 xác định bởi: f(x,y)=(x+2y,2x-y,x-y)
Đáp án: Im(f)={(t1,t2,t3)∈$R^{3}$|t1-3t2+5t3=0} Giải thích các bước giải: Ta có: (x,y)∈Ker(f)<=>f(x,y)=0 Ta có hệ pt: •x+2y=0 •2x-y=0 <=>x=0,y=0 •x-y=0 Do đó:Ker(f)={0} Ta đi tìm Im(f).Theo định nghĩa, ta có: ∀u=(t1,t2,t3)∈$R^{3}$ :u∈Im(f) <=>E(x,y)∈$R^{2}$ ,f(x,y)=u <=>E(x,y)∈$R^{2}$,ta có hệ pt: •x+2y=t1 2x-y=t2 x-y=t3 <=>Hệ Ax=B có nghiệm,trong đó: A=$\left[\begin{array}{ccc}1&2\\2&-1\\1&-1\end{array}\right]$ ;B=$\left[\begin{array}{ccc}t1\\t2\\t3\end{array}\right]$ và X=$\left(\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right)$ là ẩn. Ta biện luận hệ Ax=B bằng pp Gauss: (A|B)=$\left(\begin{array}{ccc}1&2&|t1\\2&-1&|t2\\1&-1&|t3\end{array}\right)$ =$\left(\begin{array}{ccc}1&2&|t1\\0&-5&|t2-2t1\\0&-3&|t3-t1\end{array}\right)$ =$\left(\begin{array}{ccc}1&2&|t1\\0&-5&|t2-2t1\\0&0&|t1-3t2+5t3\end{array}\right)$ Như vậy,hệ Ax=B có nghiệm <=>t1-3t2+5t3=0 Do đó:Im(f)={(t1,t2,t3)∈$R^{3}$|t1-3t2+5t3=0} *Notes: f là đơn ánh Ker(f) không gian vecto con cuả v Im(f) không gian vecto con cuả W Trả lời