Cho `b_{1} , b_{2} > 0` . CM
`(a_{1}^2)/(b_{1}) + (a_{2}^2)/(b_{2}) >= (a_{1} + a_{2})^2/(b_{1} + b_{2})`
Chỉ được sử dụng BĐT Cauchy (AM – GM)
Cho `b_{1} , b_{2} > 0` . CM
`(a_{1}^2)/(b_{1}) + (a_{2}^2)/(b_{2}) >= (a_{1} + a_{2})^2/(b_{1} + b_{2})`
Chỉ được sử dụng BĐT Cauchy (AM – GM)
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta có $(a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2})^2\geq 0$ ⇔$a_{1}^{2}b_{2}^2+a_{2}^{2}b_{1}^2-2a_1a_2b_1b_2\geq 0$ (1).
Vì $b_1, b_2$ dương nên
(1)⇔$a_{1}^{2}b_{2}^2+a_2^2b_1b_2+a_1^2b_2b_1+a_{2}^{2}b_{1}^2-2a_1a_2b_1b_2\geq a_2^2b_1b_2+a_1^2b_2b_1 $
⇔ $a_1^2(b_1+b_2)+a_2^2(b_1+b_2)\geq (a_1+a_2)^2b_1b_2$ . Vì $b_1,b_2 >0$ nên chia hai vế cho $b_1b_2(b_1+b_2)$ ta được bất đẳng thức$\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}\geq \frac{(a_1+a_2)^2}{b_1+b_2}$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}$
`(a_1^2)/(b_1)+(a_2^2)/(b_2) ge (a_1+a_2)^2/(b_1+b_2)`
`<=>(b_1+b_2)((a_1^2)/(b_1)+(a_2^2)/(b_2)) ge (a_1+a_2)^2`
Áp dụng bđt BCS:
`(b_1+b_2)((a_1^2)/(b_1)+(a_2^2)/(b_2)) ge (sqrt (b_1). a_1/(sqrt (b_1))+sqrt (b_2). (a_2)/(sqrt (b_2)))^2`
`=(a_1+a_2)^2`
`=>đpcm`