Cho ` b>a>0` tm `(ab+1)/(b-a)\le 2\sqrt2`. Tính `GTNNNN` của `P=[(a^2+1)(b^2+1)]/(a^2+ab)` 05/08/2021 Bởi Alexandra Cho ` b>a>0` tm `(ab+1)/(b-a)\le 2\sqrt2`. Tính `GTNNNN` của `P=[(a^2+1)(b^2+1)]/(a^2+ab)`
Đáp án: $GTNN$ của $P = 3 ⇔ a = \dfrac{\sqrt{2}}{2}; b = \sqrt{2}$ Giải thích các bước giải: $ 2\sqrt{2} ≥ \dfrac{ab + 1}{b – a} ≥ \dfrac{2\sqrt{ab}}{b – a}(1)$ $ ⇔ 8 ≥ \dfrac{4ab}{(b – a)²} ⇔ 2(a² + b² – 2ab) ≥ ab $ $ ⇔ 2b² – 5ab + 2a² ≥ 0 ⇒ (b – 2a)(2b – a) ≥ 0 $ $ ⇔ b – 2a ≥ 0 ⇔ b ≥ 2a (2)$ Xét $: P = \dfrac{(a² + 1)(b² + 1)}{a² + ab}$ $ = \dfrac{(a² + b²) + (1 + a²b²)}{a² + ab} ≥ \dfrac{a² + b² + 2ab}{a² + ab} (3)$$ =\dfrac{(a + b)²}{a(a + b)} = \dfrac{a + b}{a} ≥ \dfrac{a + 2a}{a} = 3 (4)$ Vậy $GTNN$ của $P = 3$ khi đồng thời xảy ra dấu $’=’$ở $(1); (2); (3);(4) ⇔ ab = 1; b = 2a ⇔ a = \dfrac{\sqrt{2}}{2}; b = \sqrt{2}$ Bình luận
Đáp án:
$GTNN$ của $P = 3 ⇔ a = \dfrac{\sqrt{2}}{2}; b = \sqrt{2}$
Giải thích các bước giải:
$ 2\sqrt{2} ≥ \dfrac{ab + 1}{b – a} ≥ \dfrac{2\sqrt{ab}}{b – a}(1)$
$ ⇔ 8 ≥ \dfrac{4ab}{(b – a)²} ⇔ 2(a² + b² – 2ab) ≥ ab $
$ ⇔ 2b² – 5ab + 2a² ≥ 0 ⇒ (b – 2a)(2b – a) ≥ 0 $
$ ⇔ b – 2a ≥ 0 ⇔ b ≥ 2a (2)$
Xét $: P = \dfrac{(a² + 1)(b² + 1)}{a² + ab}$
$ = \dfrac{(a² + b²) + (1 + a²b²)}{a² + ab} ≥ \dfrac{a² + b² + 2ab}{a² + ab} (3)$
$ =\dfrac{(a + b)²}{a(a + b)} = \dfrac{a + b}{a} ≥ \dfrac{a + 2a}{a} = 3 (4)$
Vậy $GTNN$ của $P = 3$ khi đồng thời xảy ra dấu $’=’$ở
$(1); (2); (3);(4) ⇔ ab = 1; b = 2a ⇔ a = \dfrac{\sqrt{2}}{2}; b = \sqrt{2}$