cho ba số dương 0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 1. CMR: $\frac{a}{bc+1}$ + $\frac{b}{ac+1}$ + $\frac{c}{ab+1}$ ≤ 2 11/10/2021 Bởi Peyton cho ba số dương 0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 1. CMR: $\frac{a}{bc+1}$ + $\frac{b}{ac+1}$ + $\frac{c}{ab+1}$ ≤ 2
Vì 0 ≤ a ≤ b ≤c ≤1 => (a-1)(b-1) ≥ 0 => ab – a – b+1 ≥0 => ab+1 ≥ a+ b => 1/ab+1 ≤ 1/a+b => c/ab+1 ≤ c/a+b (1) Vì 0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤1 => (b-1)(c-1) ≥ 0 => bc – b -c + 1 ≥0 => bc+1 ≥ b+c => 1/bc+1 ≤ 1/b+c => a/bc+1 ≤ a/b+c (2) Vì 0 ≤ a ≤b ≤c ≤1 => (a-1)(c-1) ≥ 0 => ac – a – c +1 ≥ 0 => ac +1 ≥ a+c => 1/ac+ 1 ≤ 1/a+c => b/ac+1 ≤ b/a+c (3) Từ (1); (2);(3) => b/ac+1 + a/bc+1 + c/ab+1 ≤ b/a+c + a/b+c + c/a+b => a/bc+1 + b/ac+1 + c/ab+1 ≤ 2b/a+b+c + 2a/a+b+c + 2c/a+b+c => a/bc+1 + b/ac+1 + c/ab+1 ≤ 2 Vậy a/bc+1 + b/ac+1 + c/ab+1 ≤ 2 Hồi trước mình có làm câu này rồi -.- Bình luận
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Vì 0 ≤ a ≤ b ≤c ≤1
=> (a-1)(b-1) ≥ 0
=> ab – a – b+1 ≥0
=> ab+1 ≥ a+ b
=> 1/ab+1 ≤ 1/a+b
=> c/ab+1 ≤ c/a+b (1)
Vì 0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤1
=> (b-1)(c-1) ≥ 0
=> bc – b -c + 1 ≥0
=> bc+1 ≥ b+c
=> 1/bc+1 ≤ 1/b+c
=> a/bc+1 ≤ a/b+c (2)
Vì 0 ≤ a ≤b ≤c ≤1
=> (a-1)(c-1) ≥ 0
=> ac – a – c +1 ≥ 0
=> ac +1 ≥ a+c
=> 1/ac+ 1 ≤ 1/a+c
=> b/ac+1 ≤ b/a+c (3)
Từ (1); (2);(3)
=> b/ac+1 + a/bc+1 + c/ab+1 ≤ b/a+c + a/b+c + c/a+b
=> a/bc+1 + b/ac+1 + c/ab+1 ≤ 2b/a+b+c + 2a/a+b+c + 2c/a+b+c
=> a/bc+1 + b/ac+1 + c/ab+1 ≤ 2
Vậy a/bc+1 + b/ac+1 + c/ab+1 ≤ 2
Hồi trước mình có làm câu này rồi -.-