cho ba số nguyên dường a,b,c có ước chung lớn nhất bằng 1 và thoả mãn 1/b-1/a=1/c.Chứng minh rằng a-b là một số chính phương

0 bình luận về “cho ba số nguyên dường a,b,c có ước chung lớn nhất bằng 1 và thoả mãn 1/b-1/a=1/c.Chứng minh rằng a-b là một số chính phương”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   Không thể có |c|>1|c|>1 vì c có ít nhất một ước nguyên tố p≥2p≥2

   Do đó p phải là ước của a hoặc b. Vô lý vì (a;c) = ( b;c) = 1; từ đó suy ra c∈{−1;1}c∈{−1;1}

   *TH1 : c=−1c=−1

   ⇒−(a+b)=ab⇒−(a+b)=ab

   ⇒ab−[−(a+b)]=0⇒ab−[−(a+b)]=0

   ⇒ab+a+b+1=0+1⇒ab+a+b+1=0+1

   ⇒(ab+a)+(b+1)=1⇒(ab+a)+(b+1)=1

   ⇒a(b+1)+(b+1)=1⇒a(b+1)+(b+1)=1

   ⇒(a+1)(b+1)=1⇒(a+1)(b+1)=1

   Do đó suy ra a+1=b+1=−1a+1=b+1=−1 ( Chúng không thể bằng 1 vì nếu như vậy a=b=0 )

   ⇒a=b=−2⇒a=b=−2

   Do đó (a;b) = 2 ≠≠1 ( trái với giả thiết )

   *TH2 : c=1c=1

   ⇒a+b=ab⇒a+b=ab

   ⇒ab−(a+b)+1=0+1=1⇒ab−(a+b)+1=0+1=1

   ⇒ab−a−b+1=1⇒ab−a−b+1=1

   ⇒(ab−a)−(b−1)=1⇒(ab−a)−(b−1)=1

   ⇒a(b−1)−(b−1)=1⇒a(b−1)−(b−1)=1

   ⇒(a−1)(b−1)=1⇒(a−1)(b−1)=1

   ⇒a−1=b−1=1⇒a−1=b−1=1 ( chúng không thể bằng -1 vì như vậy thì a = b = 0 )

   ⇒a=b=2⇒a=b=2

   ⇒(a;b)=2≠1⇒(a;b)=2≠1 (trái với giả thiết )

   Do đó không tồn tại a, b, c thỏa mãn đề bài.

   Bình luận