Cho ba số thực a, b, c không âm. Chứng minh bất đẳng thức :
a+b+c $\geq$ $\sqrt[]{ab}$ + $\sqrt[]{bc}$ +$\sqrt[]{ca}$
Cho ba số thực a, b, c không âm. Chứng minh bất đẳng thức :
a+b+c $\geq$ $\sqrt[]{ab}$ + $\sqrt[]{bc}$ +$\sqrt[]{ca}$
Vì a,b,c là 3 số không âm
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si,ta có:
a+b≥2√ab (1)
b+c≥2√bc (2)
c+a≥2√ac (3)
Cộng (1) (2) (3) theo vế,ta được:
2a+2b+2c≥2√ab+2√bc+2√ac
2(a+b+c)≥2(√ab+√bc+√ac)
a+b+c≥√ab+√bc+√ac
Dấu “=” xảy ra⇔a=b=c
Chúc bạn học tốt nhé! ^^
Đáp án:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (Côsi) với 3 số a,b,c không âm, ta có:
a+b ≥ 2$\sqrt[]{ab}$
b+c ≥ 2$\sqrt[]{bc}$
c+a ≥ 2$\sqrt[]{ca}$
=> a + b +b + c + c +a ≥ 2$\sqrt[]{ab}$ + 2$\sqrt[]{bc}$ + 2$\sqrt[]{ca}$
<=> 2( a + b +c ) ≥ 2($\sqrt[]{ab}$ +$\sqrt[]{bc}$ +$\sqrt[]{ca}$)
=> a + b + c ≥ $\sqrt[]{ab}$ +$\sqrt[]{bc}$ +$\sqrt[]{ca}$