Cho ba số thực `a,b,c` thoả mãn điều kiện : `ab+bc+ac=3`. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức `P=a^2+b^2+c^2-6(a+b+c)+2019`
Giúp với!!
Cho ba số thực `a,b,c` thoả mãn điều kiện : `ab+bc+ac=3`. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức `P=a^2+b^2+c^2-6(a+b+c)+2019`
Giúp với!!
Đáp án:
`min_P=2004<=>a=b=c=1`
Giải thích các bước giải:
`P=a^2+b^2+c^2-6(a+b+c)+2019`
`=a^2+b^2+c^2+6-6(a+b+c)+2013`
`=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)-6(a+b+c)+2013`(do `ab+bc+ca=3`)
`=(a+b+c)^2-6(a+b+c)+9+2004`
`=(a+b+c-3)^2+2004>=2004`
Dấu “=” xảy ra khi `a+b+c=3`
`<=>(a+b+c)^2=9`
`<=>a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=9`
`<=>a^2+b^2+c^2=3`
`<=>a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca`
`<=>2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ac`
`<=>a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2=0`
`<=>(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0`
`<=>a=b=c=1`
$P = a^2+b^2+c^2-6.(a+b+c) + 2019$
$ = (a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca) -6.(a+b+c) + 2013$
$ = (a+b+c)^2- 6.(a+b+c) + 2013$
$ = (a+b+c-3)^2 + 2004 ≥ 2004$
Dấu “=” xảy ra $⇔a=b=c=1$
Vậy Min $P = 2004$ khi $a=b=c=1$