Cho ba số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện $x+y+z=6$ .Tính Max của biểu thức $P=\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}$
Cho ba số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện $x+y+z=6$ .Tính Max của biểu thức $P=\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}$
By Hadley
By Hadley
Cho ba số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện $x+y+z=6$ .Tính Max của biểu thức $P=\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}$
Phụ huynh gặp khó khăn cân bằng công việc và dạy con chương trình mới. Hãy để dịch vụ gia sư của chúng tôi giúp bạn giảm bớt áp lực, cung cấp kiến thức chuyên sâu và hỗ trợ con bạn học tập hiệu quả.
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Theo bdt cosi- svac cho 3 số thực dương, ta có
$P = \sqrt{x+y} + \sqrt{y+z} + \sqrt{z + x} ≤\sqrt{(1 +1 + 1)(x + y + y + z + z + x)} = \sqrt{3.12 } =\sqrt{36} = 6$
Dấu”=” xảy ra khi và chỉ khi $x = y = z = 2$
Vậy GTLN là 6 khi x = y = z = 2
Đáp án:
`P_{max}=6` khi `x=y=z=2`
Giải thích các bước giải:
Đặt: $\begin{cases}a=\sqrt{x+y}\\b=\sqrt{y+z}\\c=\sqrt{z+x}\end{cases}\ (a;b;c\ge 0)$
Vì `x+y+z=6`
`=>a^2+b^2+c^2=2(x+y+z)=12`
Ta có:
`(a-b)^2\ge 0<=>a^2+b^2\ge 2ab`
`(b-c)^2\ge 0<=>b^2+c^2\ge 2bc`
`(a-c)^2\ge 0<=>a^2+c^2\ge 2ac`
`=>2(a^2+b^2+c^2)\ge 2ab+2bc+2ac`
`<=>a^2+b^2+c^2+2(a^2+b^2+c^2)`
`\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac`
`<=>3(a^2+b^2+c^2)\ge (a+b+c)^2`
`<=>3.12\ge (a+b+c)^2`
`<=>a+b+c\le 6` (vì `a+b+c\ge 0)`
Dấu “=” xảy ra khi `a=b=c=2`
`=>x=y=z=2`
Vậy `P=\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}` có $GTLN$ bằng $6$ khi `x=y=z=2`