cho biết $\begin{cases}a;b;c \in R\\a+b+c=3 \end{cases}$ tìm min: $A=(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)$ các anh chị chuyên gia puvi, hangbich…, các bạn học giỏi

Đáp án:

 Dồn biến đại pháp

Giải thích các bước giải:

Không mất tính tổng quát, giả sử $c=max\{a;b;c\}$

 – Với $a+b \leq 0 ⇒c \geq 3 ⇒c^2+1 \geq 10$

$⇒A \geq 10$

– Với $a+b>0$

$⇒\begin{cases}c \geq 1\\0<a+b \leq 2 \end{cases}$

$⇒(a+b)^2+4ab \leq 2(a+b)^2 \leq 8$

Ta sẽ chứng minh BĐT sau:

$(a^2+1)(b^2+1) \geq \left[\left(\dfrac{a+b}{2} \right)^2+1 \right]^2$

Thật vậy, BĐT đã cho tương đương:

$a^4+4a^3b+4ab^3+16ab+b^4-10a^2b^2-8a^2-8b^2 \leq 0$

$⇔(a-b)^2(a^2+6ab+b^2-8) \leq 0$

$⇔(a-b)^2\left[(a+b)^2+4ab-8\right] \leq 0$ (đúng)

Do vậy ta có:

$A \geq (c^2+1)\left[\left(\dfrac{a+b}{2} \right)^2+1 \right]^2=(c^2+1)\left[\left(\dfrac{3-c}{2} \right)^2+1 \right]^2$

$⇒16A \geq (c^2+1)(c^2-6c+13)^2-125+125$

$⇒16A \geq (c-2)^2(c^4-8c^3+27c^2-28c+11)+125$

$⇒16A \geq (c-2)^2\left[(c-2)^4+(c-1)(3c+7)+2 \right]+125 \geq 125$

$⇒A \geq \dfrac{125}{16}$

$A_{min}=\dfrac{125}{16}$ khi $(a;b;c)=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};2 \right)$ và các hoán vị