cho biểu thức A= x/(x+1)- (3-3x)/x^2-x+1)+(x+4)/(x^3+1)
a) rút gọn A
b) chứng minh giá trị của A luôn dương với x khác -1
cho biểu thức A= x/(x+1)- (3-3x)/x^2-x+1)+(x+4)/(x^3+1)
a) rút gọn A
b) chứng minh giá trị của A luôn dương với x khác -1
Đáp án:
a) \(\dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} – x + 1}}\)
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}
a)DK:x \ne – 1\\
A = \dfrac{x}{{x + 1}} – \dfrac{{3 – 3x}}{{{x^2} – x + 1}} + \dfrac{{x + 4}}{{{x^3} + 1}}\\
= \dfrac{{x\left( {{x^2} – x + 1} \right) – \left( {3 – 3x} \right)\left( {x + 1} \right) + x + 4}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} – x + 1} \right)}}\\
= \dfrac{{{x^3} – {x^2} + x – 3x + 3{x^2} – 3 + 3x + x + 4}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} – x + 1} \right)}}\\
= \dfrac{{{x^3} + 2{x^2} + 2x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} – x + 1} \right)}}\\
= \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} – x + 1} \right)}}\\
= \dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} – x + 1}}\\
b)Do:{x^2} + x + 1 = {x^2} + 2.x.\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}\\
= {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} > 0\forall x \ne – 1\\
{x^2} – x + 1 = {x^2} – 2.x.\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}\\
= {\left( {x – \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} > 0\forall x \ne – 1\\
\to A > 0\forall x \ne – 1
\end{array}\)