Cho biểu thức A=(2√x -1)/(x+2) và B = 3√x/(2√x +1) – 4/(1-2√x) – (4x+2√x + 3)/(4x-1) với x>=0; x khác 1/4. Tìm m để có duy nhất một giá trị của x thỏa

Đáp án:

m=4

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}
A = \dfrac{{2\sqrt x  – 1}}{{x + 2}}\\
B = \dfrac{{3\sqrt x }}{{2\sqrt x  + 1}} – \dfrac{4}{{1 – 2\sqrt x }} – \dfrac{{4x + 2\sqrt x  + 3}}{{4x – 1}}\\
 = \dfrac{{3\sqrt x \left( {2\sqrt x  – 1} \right) + 4\left( {2\sqrt x  + 1} \right) – 4x – 2\sqrt x  – 3}}{{\left( {2\sqrt x  + 1} \right)\left( {2\sqrt x  – 1} \right)}}\\
 = \dfrac{{6x – 3\sqrt x  + 8\sqrt x  + 4 – 4x – 2\sqrt x  – 3}}{{\left( {2\sqrt x  + 1} \right)\left( {2\sqrt x  – 1} \right)}}\\
 = \dfrac{{2x + 3\sqrt x  + 1}}{{\left( {2\sqrt x  + 1} \right)\left( {2\sqrt x  – 1} \right)}}\\
 = \dfrac{{\left( {2\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {2\sqrt x  + 1} \right)\left( {2\sqrt x  – 1} \right)}}\\
 = \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{2\sqrt x  – 1}}\\
Có:\left( {AB – 1} \right)\left( {x + 2} \right) = m\left( {1 – \sqrt x } \right) + 3\sqrt x  – 4\\
 \to \left( {\dfrac{{2\sqrt x  – 1}}{{x + 2}}.\dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{2\sqrt x  – 1}} – 1} \right)\left( {x + 2} \right) = m\left( {1 – \sqrt x } \right) + 3\sqrt x  – 4\\
 \to \left( {\dfrac{{\sqrt x  + 1 – x – 2}}{{x + 2}}} \right)\left( {x + 2} \right) = m\left( {1 – \sqrt x } \right) + 3\sqrt x  – 4\\
 \to  – x + \sqrt x  – 1 = m – m\sqrt x  + 3\sqrt x  – 4\\
 \to x + 2\sqrt x  – 3 + m – m\sqrt x  = 0\\
 \to x + \left( {2 – m} \right)\sqrt x  + m – 3 = 0\left( 1 \right)
\end{array}\)

Yêu cầu đề bài ⇔ Phương trình (1) có nghiệm kép

\(\begin{array}{l}
 \to 4 – 4m + {m^2} – 4m + 12 = 0\\
 \to {m^2} – 8m + 16 = 0\\
 \to {\left( {m – 4} \right)^2} = 0\\
 \to m = 4
\end{array}\)