Cho biểu thức A = căn x+1 trên căn x-1 cộng căn x-1 trên căn x+1 cộng 3 căn x cộng 1 trên 1-x ( với x>0,x khác 0) 1. Rút gọn biểu thức A 2. Tìm giá tr

Đáp án:

$\begin{array}{l}
A = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  – 1}} + \frac{{\sqrt x  – 1}}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{{3\sqrt x  + 1}}{{1 – x}}\left( {x \ge 0;x \ne 1} \right)\\
 = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  – 1}} + \frac{{\sqrt x  – 1}}{{\sqrt x  + 1}} – \frac{{3\sqrt x  + 1}}{{x – 1}}\\
 = \frac{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt x  – 1} \right)}^2} – 3\sqrt x  – 1}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  – 1} \right)}}\\
 = \frac{{2x + 2 – 3\sqrt x  – 1}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  – 1} \right)}}\\
 = \frac{{2x – 3\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  – 1} \right)}}\\
 = \frac{{2x – 2\sqrt x  – \sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  – 1} \right)}}\\
 = \frac{{\left( {\sqrt x  – 1} \right)\left( {2\sqrt x  – 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  – 1} \right)}}\\
 = \frac{{2\sqrt x  – 1}}{{\sqrt x  + 1}}\\
2)\\
A = \frac{{2\sqrt x  – 1}}{{\sqrt x  + 1}} = \frac{{2\left( {\sqrt x  + 1} \right) – 2 – 1}}{{\sqrt x  + 1}}\\
 = 2 – \frac{3}{{\sqrt x  + 1}}\\
Do:\sqrt x  \ge 0\forall x \ge 0;x \ne 1\\
 \Rightarrow \sqrt x  + 1 \ge 1\\
 \Rightarrow \frac{3}{{\sqrt x  + 1}} \le 3\\
 \Rightarrow  – \frac{3}{{\sqrt x  + 1}} \ge  – 3\\
 \Rightarrow 2 – \frac{3}{{\sqrt x  + 1}} \ge 2 – 3\\
 \Rightarrow A \ge  – 1\\
 \Rightarrow GTNN\,A =  – 1 \Leftrightarrow x = 0
\end{array}$