Cho biểu thức A = căn x+1 trên căn x-1 cộng căn x-1 trên căn x+1 cộng 3 căn x cộng 1 trên 1-x ( với x>0,x khác 0)
1. Rút gọn biểu thức A
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A
Giải hộ mình với
Cho biểu thức A = căn x+1 trên căn x-1 cộng căn x-1 trên căn x+1 cộng 3 căn x cộng 1 trên 1-x ( với x>0,x khác 0)
1. Rút gọn biểu thức A
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A
Giải hộ mình với
Đáp án:
$\begin{array}{l}
A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x – 1}} + \frac{{\sqrt x – 1}}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{3\sqrt x + 1}}{{1 – x}}\left( {x \ge 0;x \ne 1} \right)\\
= \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x – 1}} + \frac{{\sqrt x – 1}}{{\sqrt x + 1}} – \frac{{3\sqrt x + 1}}{{x – 1}}\\
= \frac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt x – 1} \right)}^2} – 3\sqrt x – 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x – 1} \right)}}\\
= \frac{{2x + 2 – 3\sqrt x – 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x – 1} \right)}}\\
= \frac{{2x – 3\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x – 1} \right)}}\\
= \frac{{2x – 2\sqrt x – \sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x – 1} \right)}}\\
= \frac{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {2\sqrt x – 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x – 1} \right)}}\\
= \frac{{2\sqrt x – 1}}{{\sqrt x + 1}}\\
2)\\
A = \frac{{2\sqrt x – 1}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{2\left( {\sqrt x + 1} \right) – 2 – 1}}{{\sqrt x + 1}}\\
= 2 – \frac{3}{{\sqrt x + 1}}\\
Do:\sqrt x \ge 0\forall x \ge 0;x \ne 1\\
\Rightarrow \sqrt x + 1 \ge 1\\
\Rightarrow \frac{3}{{\sqrt x + 1}} \le 3\\
\Rightarrow – \frac{3}{{\sqrt x + 1}} \ge – 3\\
\Rightarrow 2 – \frac{3}{{\sqrt x + 1}} \ge 2 – 3\\
\Rightarrow A \ge – 1\\
\Rightarrow GTNN\,A = – 1 \Leftrightarrow x = 0
\end{array}$