Cho biểu thức A=( $\frac{x^{2} – 16}{x-4 }$ -1) : ( $\frac{x-2}{x-3}$ + $\frac{x+3}{x+1}$ + $\frac{x+2- x^{2} }{x^{2} -2x-3 }$
a)Rút gọn biểu thức A
b)Tìm số nguyên x để $\frac{A}{x^{2} +x+1 }$ nhận giá trị nguyên
Cho biểu thức A=( $\frac{x^{2} – 16}{x-4 }$ -1) : ( $\frac{x-2}{x-3}$ + $\frac{x+3}{x+1}$ + $\frac{x+2- x^{2} }{x^{2} -2x-3 }$
a)Rút gọn biểu thức A
b)Tìm số nguyên x để $\frac{A}{x^{2} +x+1 }$ nhận giá trị nguyên
Đáp án:
b) x=0
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}
a)DK:x \ne \left\{ { – 1;3;4} \right\}\\
A = \left[ {\dfrac{{\left( {x – 4} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{x – 4}} – 1} \right]:\left[ {\dfrac{{\left( {x – 2} \right)\left( {x + 1} \right) + \left( {x + 3} \right)\left( {x – 3} \right) – {x^2} + x + 2}}{{\left( {x – 3} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right]\\
= \left( {x + 4 – 1} \right):\dfrac{{{x^2} – x – 2 + {x^2} – 9 – {x^2} + x + 2}}{{\left( {x – 3} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\
= \left( {x + 3} \right).\dfrac{{\left( {x – 3} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} – 9}}\\
= x + 1\\
b)\dfrac{A}{{{x^2} + x + 1}} = \dfrac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}} = \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\\
= \dfrac{{{x^2} – 1}}{{{x^3} – 1}} = \dfrac{{{x^2}}}{{{x^3} – 1}} – \dfrac{1}{{{x^3} – 1}}\\
A \in Z\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{{x^2}}}{{{x^3} – 1}} \in Z\\
\dfrac{1}{{{x^3} – 1}} \in Z
\end{array} \right.\\
Xét:\dfrac{1}{{{x^3} – 1}} \in Z\\
\to {x^3} – 1 \in U\left( 1 \right)\\
\to \left[ \begin{array}{l}
{x^3} – 1 = 1\\
{x^3} – 1 = – 1
\end{array} \right.\\
\to \left[ \begin{array}{l}
x = \sqrt[3]{2}\left( l \right)\\
x = 0
\end{array} \right.\\
Thay:x = 0\\
\to \dfrac{{{0^2}}}{{{0^3} – 1}} = 0\\
\to A = 0 – 1 = – 1\left( {TM} \right)\\
KL:x = 0
\end{array}\)
Giải thích các bước giải:
Ta có: (x-3)(x+1)=x^2-2x-3
⇒A=[(x+4)(x-4)]/(x-4)-1]:[ (x-2)(x+1)+(x+3)(x-3)+x+2-x^2]/(x^2-2x-3)
⇒A=[ x+3]:[x^2-x-2+x^2-9+x+2-x^2]/(x+1)(x-3)
⇒A=(x+3):(x^2-9)/(x+1)(x-3)
⇒A=(x+3):(x+3)/(x+1)
⇒A=x+1