Cho biểu thức `A=“\frac{2\sqrt{x}-9}{x-5\sqrt{x}+6}“-“\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}“-“\frac{2\sqrt{x}+1}{3-\sqrt{x}}`
a) Tìm ĐK của x để A có nghĩa
b) Tìm các giá trị của x để `A ∈ ZZ`
Cho biểu thức `A=“\frac{2\sqrt{x}-9}{x-5\sqrt{x}+6}“-“\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}“-“\frac{2\sqrt{x}+1}{3-\sqrt{x}}`
a) Tìm ĐK của x để A có nghĩa
b) Tìm các giá trị của x để `A ∈ ZZ`
Đáp án:
a) `x`$\geq$`0“,“x`$\neq$`4“, x` $\neq$`9`
b) `x∈ {16; 4;25;1;49}`
Giải thích các bước giải:
a) ĐK ở trên nha, bạn có thể giải chi tiết
b) `A=“\frac{2\sqrt{x}-9}{x-5\sqrt{x}+6}“-“\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}“-“\frac{2\sqrt{x}+1}{3-\sqrt{x}}`
`=“\frac{2\sqrt{x}-9}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-3)}“-“\frac{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-3)}“+“\frac{(2\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}-2)}`
`=“\frac{2\sqrt{x}-9-(x-9)+(2x-4\sqrt{x}+\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-3)}`
`=“\frac{x-\sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-3)}`
`=“\frac{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-3)}`
`=“\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}`
`A=“\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}“=“\frac{\sqrt{x}-3+4}{\sqrt{x}-3}“=1+“\frac{4}{\sqrt{x}-3}`
Để `A∈ZZ` thì `\frac{4}{\sqrt{x}-3}“∈ ZZ`
`*x` không là số chính phương
`\sqrt{x} ∉ QQ`
`=>“\frac{4}{\sqrt{x}-3}` `∉ ZZ`
`*x` là số chính phương
`⇒ \sqrt{x} ∈ ZZ`
`⇒ \sqrt{x} -3 ∈ ZZ`
Để `A ∈ Z`
thì `4` chia hết cho `\sqrt{x}-3 ⇒ \sqrt{x}-3 ∈ {1; -1; 2; -2; 4; -4}`
`⇒ \sqrt{x} ∈ {4; 2; 5; 1; 7}`
`⇒ x ∈ {16; 4; 25; 1; 49}`
Mà “x`$\geq$`0; x` $\neq$ `4; x`$\neq$`9`
`⇒ x ∈ {16; 25; 1; 49}`
a) Điều kiện xác định:
$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x \ge 0\\ \sqrt x – 2 \ne 0\\ 3 – \sqrt x \ne 0\\ x – 5\sqrt x + 6 \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge 0\\ x \ne 4\\ x \ne 9\\ \left( {\sqrt x – 2} \right)\left( {\sqrt x – 3} \right) \ne 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge 0\\ x \ne 4\\ x \ne 9 \end{array} \right. \end{array}$
b)
$\begin{array}{l} A = \dfrac{{2\sqrt x – 9}}{{x – 5\sqrt x + 6}} – \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x – 2}} – \dfrac{{2\sqrt x + 1}}{{3 – \sqrt x }}\\ A = \dfrac{{2\sqrt x – 9}}{{\left( {\sqrt x – 2} \right)\left( {\sqrt x – 3} \right)}} – \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x – 2}} + \dfrac{{2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x – 3}}\\ A = \dfrac{{2\sqrt x – 9 – \left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x – 3} \right) + \left( {2\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x – 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x – 2} \right)\left( {\sqrt x – 3} \right)}}\\ A = \dfrac{{2\sqrt x – 9 – x + 9 + 2x – 3\sqrt x – 2}}{{\left( {\sqrt x – 2} \right)\left( {\sqrt x – 3} \right)}}\\ A = \dfrac{{x – \sqrt x – 2}}{{\left( {\sqrt x – 2} \right)\left( {\sqrt x – 3} \right)}} = \dfrac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x – 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x – 2} \right)\left( {\sqrt x – 3} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x – 3}} \end{array}$
$\begin{array}{l} A = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x – 3}} = \dfrac{{\sqrt x – 3 + 4}}{{\sqrt x – 3}} = 1 + \dfrac{4}{{\sqrt x – 3}} \in \mathbb{Z}\\ \Rightarrow 4 \vdots \sqrt x – 3\\ \Rightarrow \sqrt x – 3 \in U\left( 4 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 2; \pm 4} \right\}\\ \Rightarrow x \in \left\{ {4;16;1;25;49} \right\}\\ \Rightarrow x \in \left\{ {16;1;25;49} \right\}\left( {x \ne 4} \right) \end{array}$