Cho biểu thức:
A = $\frac{√x}{√x -5}$ + $\frac{10√x}{25-x}$ – $\frac{5}{√x +5}$
B= $\frac{x+8√x +15}{x-3√x -10}$
1, tính giá trị của biểu thức A và B khi x=25
2, tính giá trị của của x để A< $\frac{1}{3}$
3, tình giá trị lớn nhất của biểu thức P=A.B
Giúp mình với
Đáp án:
$\begin{array}{l}1)Dkxd:x \ge 0;x \ne 25\\A = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x – 5}} + \dfrac{{10\sqrt x }}{{25 – x}} – \dfrac{5}{{\sqrt x + 5}}\\ = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 5} \right) – 10\sqrt x – 5\left( {\sqrt x – 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x – 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}}\\ = \dfrac{{x + 5\sqrt x – 10\sqrt x – 5\sqrt x + 25}}{{\left( {\sqrt x – 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}}\\ = \dfrac{{x – 10\sqrt x + 25}}{{\left( {\sqrt x – 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}}\\ = \dfrac{{{{\left( {\sqrt x – 5} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x – 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}}\\ = \dfrac{{\sqrt x – 5}}{{\sqrt x + 5}}\\x = 25\left( {ktm} \right)
\end{array}$
$\begin{array}{l}
B = \dfrac{{x + 8\sqrt x + 15}}{{x – 3\sqrt x – 10}}\\
= \dfrac{{x + 3\sqrt x + 5\sqrt x + 15}}{{\left( {\sqrt x – 5} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\
= \dfrac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x – 5} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}
\end{array}$
=> x=25 thì ko có giá trị của A và B
2)
$\begin{array}{l}
A = \dfrac{{\sqrt x – 5}}{{\sqrt x + 5}} < \dfrac{1}{3}\\
\Rightarrow \dfrac{{\sqrt x – 5}}{{\sqrt x + 5}} – \dfrac{1}{3} < 0\\
\Rightarrow \dfrac{{3\sqrt x – 15 – \sqrt x – 5}}{{3\left( {\sqrt x + 5} \right)}} < 0\\
\Rightarrow \dfrac{{2\sqrt x – 20}}{{3\left( {\sqrt x + 5} \right)}} < 0\\
\Rightarrow 2\sqrt x – 20 < 0\\
\Rightarrow \sqrt x < 10\\
\Rightarrow x < 100\\
Vậy\,0 \le x < 100;x \ne 25
\end{array}$
3)
$\begin{array}{l}
P = A.B\\
= \dfrac{{\sqrt x – 5}}{{\sqrt x + 5}}.\dfrac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x – 5} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\
= \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 2}} = \dfrac{{\sqrt x + 2 + 1}}{{\sqrt x + 2}}\\
= 1 + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}}\\
Do:\sqrt x + 2 \ge 2\\
\Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} \le \dfrac{1}{2}\\
\Rightarrow 1 + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} \le 1 + \dfrac{1}{2}\\
\Rightarrow P \le \dfrac{3}{2}\\
\Rightarrow GTLN:P = \dfrac{3}{2}\,khi:x = 0
\end{array}$