Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001. Với giá trị nào của a và b thì M đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ
Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001. Với giá trị nào của a và b thì M đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ
Đáp án: $M\ge 1998$
Giải thích các bước giải:
Ta có :
$M=a^2+ab+b^2-3a-3b+2001$
$\to M=a^2+a\left(b-3\right)+b^2-3b+2001$
$\to M=\left(a^2+2.a.\dfrac{b-3}{2}+\left(\dfrac{b-3}{2}\right)^2\right)+b^2-3b-\left(\dfrac{b-3}{2}\right)^2+2001$
$\to M=\left(a+\dfrac{b-3}{2}\right)^2+\dfrac34\left(b^2-2b-3\right)+2001$
$\to M=\left(a+\dfrac{b-3}{2}\right)^2+\dfrac34\left(b^2-2b+1-4\right)+2001$
$\to M=\left(a+\dfrac{b-3}{2}\right)^2+\dfrac34\left(b-1\right)^2-3+2001$
$\to M=\left(a+\dfrac{b-3}{2}\right)^2+\dfrac34\left(b-1\right)^2+1998$
$\to M\ge 0+0+1998$
$\to M\ge 1998$
Dấu = xảy ra khi $\begin{cases}a+\dfrac{b-3}{2}=0\\b-1=0\end{cases}\to \begin{cases}a=1\\b=1\end{cases}$
Ta có $M = a^2+b^2+ab-3a-3b+2001$
$\to 4M = 4a^2+4b^2+4ab-12a-12b+8004$
$ = [(a^2+4ab+4b^2)-6.(a+2b)+9]+3.(a^2-2a+1) + 7992$
$ = (a+2b-3)^2+3.(a-1)^2+7992 ≥ 7992$
$\to M ≥ \dfrac{7992}{4} = 1998$
Dấu “=” xảy ra $⇔a=b=1$
Vậy $M_{min} = 1998$ tại $a=b=1$