Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001. Với giá trị nào của a và b thì M đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ

Đáp án: $M\ge 1998$

Giải thích các bước giải:

Ta có :
$M=a^2+ab+b^2-3a-3b+2001$

$\to M=a^2+a\left(b-3\right)+b^2-3b+2001$

$\to M=\left(a^2+2.a.\dfrac{b-3}{2}+\left(\dfrac{b-3}{2}\right)^2\right)+b^2-3b-\left(\dfrac{b-3}{2}\right)^2+2001$

$\to M=\left(a+\dfrac{b-3}{2}\right)^2+\dfrac34\left(b^2-2b-3\right)+2001$

$\to M=\left(a+\dfrac{b-3}{2}\right)^2+\dfrac34\left(b^2-2b+1-4\right)+2001$

$\to M=\left(a+\dfrac{b-3}{2}\right)^2+\dfrac34\left(b-1\right)^2-3+2001$

$\to M=\left(a+\dfrac{b-3}{2}\right)^2+\dfrac34\left(b-1\right)^2+1998$

$\to M\ge 0+0+1998$

$\to M\ge 1998$

Dấu  = xảy ra khi $\begin{cases}a+\dfrac{b-3}{2}=0\\b-1=0\end{cases}\to \begin{cases}a=1\\b=1\end{cases}$