Cho biểu thức P = √x+2/√x+1 – √x+3/5-√x – 3x+4√x-5/x-4√x-5 với x≥0, x khác 25 a) Rút gọn P. Tìm các số thực x để P>-2 b) Tìm các số tự nhiên x là s

Đáp án:

$\begin{array}{l}
a)x \ge 0;x \ne 25\\
P = \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 1}} – \dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{5 – \sqrt x }} – \dfrac{{3x + 4\sqrt x  – 5}}{{x – 4\sqrt x  – 5}}\\
 = \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 1}} + \dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  – 5}} – \dfrac{{3x + 4\sqrt x  – 5}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  – 5} \right)}}\\
 = \dfrac{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  – 5} \right) + \left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right) – 3x – 4\sqrt x  + 5}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  – 5} \right)}}\\
 = \dfrac{{x – 3\sqrt x  – 10 + x + 4\sqrt x  + 3 – 3x – 4\sqrt x  + 5}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  – 5} \right)}}\\
 = \dfrac{{ – x – 3\sqrt x  – 2}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  – 5} \right)}}\\
 = \dfrac{{ – \left( {x + 3\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  – 5} \right)}}\\
 = \dfrac{{ – \left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  – 5} \right)}}\\
 = \dfrac{{ – \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\sqrt x  – 5}}\\
 = \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{5 – \sqrt x }}\\
P >  – 2\\
 \Rightarrow \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{5 – \sqrt x }} >  – 2\\
 \Rightarrow \dfrac{{\sqrt x  + 2 + 2\left( {5 – \sqrt x } \right)}}{{5 – \sqrt x }} > 0\\
 \Rightarrow \dfrac{{\sqrt x  + 2 + 10 – 2\sqrt x }}{{5 – \sqrt x }} > 0\\
 \Rightarrow \dfrac{{\sqrt x  – 12}}{{\sqrt x  – 5}} > 0\\
 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sqrt x  > 12\\
\sqrt x  < 5
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
x > 144\\
0 \le x < 25
\end{array} \right.\\
b)P = \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{5 – \sqrt x }}\\
 = \dfrac{{\sqrt x  – 5 + 7}}{{5 – \sqrt x }}\\
 =  – 1 + \dfrac{7}{{5 – \sqrt x }}\\
P \in Z\\
 \Rightarrow \dfrac{7}{{5 – \sqrt x }} \in Z\\
 \Rightarrow \left( {5 – \sqrt x } \right) \in U\left( 7 \right)\\
 \Rightarrow 5 – \sqrt x  \in \left\{ { – 7; – 1;1;7} \right\}\\
 \Rightarrow \sqrt x  \in \left\{ {12;6;4; – 2} \right\}\\
Do:\sqrt x  \ge 0\\
 \Rightarrow \sqrt x  \in \left\{ {4;6;12} \right\}\\
 \Rightarrow x \in \left\{ {16;36;144} \right\}
\end{array}$