Cho biểu thức P= xy(x-2)(y+6) + 12x^2 – 24x + 3y^2 +18y + 36. Chứng minh P luôn dương với mọi x, y thuộc R

0 bình luận về “Cho biểu thức P= xy(x-2)(y+6) + 12x^2 – 24x + 3y^2 +18y + 36. Chứng minh P luôn dương với mọi x, y thuộc R”

1. $\color{black}{P = xy(x – 2)(y + 6) + 12x² – 24x + 3y² + 18y + 36}$
   $\color{black}{⇒ P = xy(x – 2)(y + 6) + 12x(x – 2) + 3y(y + 6) + 36}$
   $\color{black}⇒{ P = [ 12x(x – 2) + 36 ] + xy(x – 2)(y + 6) + 3y(y + 6)}$
   $\color{black}{⇒ P = 12[x(x – 2) + 3] + y(y + 6).[x(x – 2) + 3]}$
   $\color{black}{⇒ P = [x(x – 2) + 3].[y(y + 6) + 12]}$
   $\color{black}{⇒ P = (x² – 2x + 3)(y² + 6y + 12)}$
   $\color{black}{⇒ P = [(x – 1)² + 2].[(y + 3)² + 3]  = 2.3 = 6 > 0}$
   ⇒ Biểu thức luôn dương với mọi x 

    

   Bình luận

2. Giải thích các bước giải:

   `P = xy(x – 2)(y + 6) + 12x^2 – 24x + 3y^2 + 18y + 36 `

   `=>P = xy(x – 2)(y + 6) + (12x^2 – 24x) + (3y^2 + 18y) + 36 `

   `=> P = xy(x – 2)(y + 6) + 12x(x – 2) + 3y(y + 6) + 36 `

   `=> P = [ 12x(x – 2) + 36 ] + xy(x – 2)(y + 6) + 3y(y + 6) `

   `=> P = 12[x(x – 2) + 3] + y(y + 6).[x(x – 2) + 3] `

   `=> P = [x(x – 2) + 3][y(y + 6) + 12]`

   `=> P = (x^2 – 2x + 3)(y^2 + 6y + 12) `

   `=> P= [(x^2-2x+1)+2][(y^2+6y+9)+3]`
   `=> P = [(x – 1)^2 + 2].[(y + 3)^2 + 3]`

   Ta thấy:

    `(x-1)^2>=0AAx=>(x-1)^2+2>0AAx`

   `(y+3)^2>=0AAy=>(y+3)^2+3>0AAy`

   `=>[(x – 1)^2 + 2].[(y + 3)^2 + 3]>0AAx,y`

   `=>P>0AAx,y`

      Vậy biểu thức `P` luôn dương với mọi `x, y ∈ R.`

   Bình luận