CHO BIỂU THỨC Q=x^2+6y^2-2xy-12x +2y+2017. CMR bieu thuc Q luôn nhận giá trị dương với mọi số thực x, y 01/08/2021 Bởi Samantha CHO BIỂU THỨC Q=x^2+6y^2-2xy-12x +2y+2017. CMR bieu thuc Q luôn nhận giá trị dương với mọi số thực x, y
Đáp án: $\begin{array}{l}Q = {x^2} + 6{y^2} – 2xy – 12x + 2y + 2017\\ = \left( {{x^2} + {y^2} + 36 – 2xy – 12x + 12y} \right) + 5{y^2} – 10y + 5 + 1976\\ = \left( {{x^2} + {{\left( { – y} \right)}^2} + {{\left( { – 6} \right)}^2} + 2.x.\left( { – y} \right) + 2.x.\left( { – 6} \right) + 2.\left( { – y} \right).\left( { – 6} \right)} \right) + 5\left( {{y^2} – 2y + 1} \right) + 1976\\ = {\left( {x – y – 6} \right)^2} + 5{\left( {y – 1} \right)^2} + 1976 \ge 1976 > 0\\Dấu = xảy\,ra \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x – y – 6 = 0\\y – 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x = 7\end{array} \right.\end{array}$ Vây Q luôn dương với mọi x,y Bình luận
Đáp án:
$\begin{array}{l}
Q = {x^2} + 6{y^2} – 2xy – 12x + 2y + 2017\\
= \left( {{x^2} + {y^2} + 36 – 2xy – 12x + 12y} \right) + 5{y^2} – 10y + 5 + 1976\\
= \left( {{x^2} + {{\left( { – y} \right)}^2} + {{\left( { – 6} \right)}^2} + 2.x.\left( { – y} \right) + 2.x.\left( { – 6} \right) + 2.\left( { – y} \right).\left( { – 6} \right)} \right) + 5\left( {{y^2} – 2y + 1} \right) + 1976\\
= {\left( {x – y – 6} \right)^2} + 5{\left( {y – 1} \right)^2} + 1976 \ge 1976 > 0\\
Dấu = xảy\,ra \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x – y – 6 = 0\\
y – 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 1\\
x = 7
\end{array} \right.
\end{array}$
Vây Q luôn dương với mọi x,y