Cho bốn số thực bất kì `a,b,c,d` . Chứng minh:
`//ab + cd//“ ≤` `sqrt((a^2+c^2)(b^2+d^2))`
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
– Mình đặt để check kết quả thôi nên không cần chi tiết quá đâu nha .
Cho bốn số thực bất kì `a,b,c,d` . Chứng minh: `//ab + cd//“ ≤` `sqrt((a^2+c^2)(b^2+d^2))` Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ? – Mình đặt để check kết qu
By Adeline
Đáp án:Đây là BĐT Bunhiacopxky
bình phương 2 vế
(ab+cd)^2=< (a^2+c^2)(b^2+d^2)
<=>a^2*b^2 + 2abcd + c^2*d^2=< a^2*b^2+a^2*d^2+c^b^2+c^2+d^2
<=> 2abcd=< a^2d^2 + c^2+b^2
áp dụng BĐT co si
=> BĐT luôn đúng
dấu = xảy ra <=> ad=cb
<=> a/b = c/d
Giải thích các bước giải:
Áp dụng BĐT Bunhicopski ta có:
$(ab+cd)^{2}\leq(a^{2}+c^{2})(b^{2}+d^{2})$
⇔$a^{2}b^{2}+2abcd+c^{2}d^{2}\leq a^{2}b^{2}+a^{2}d^{2}+c^{2}b^{2}+c^{2}d^{2}$
⇔$2abcd\leq a^{2}d^{2}+c^{2}b^{2}$
Áp dụng BĐT Cosi ta có:
$ab+cd\leq\sqrt{(a^{2}+c^{2})(b^{2}+d^{2})}$
Dấu “=” xảy ra⇔$ad=cb$
⇔$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$