cho (C)=$x^{3}$ -m$x^{2}$ +1 cắt d:y=-x+1 tại A(0,1) và B,C .tìm m để tiếp tuyến tại B,C vuông góc với nhau

0 bình luận về “cho (C)=$x^{3}$ -m$x^{2}$ +1 cắt d:y=-x+1 tại A(0,1) và B,C .tìm m để tiếp tuyến tại B,C vuông góc với nhau”

1. Đáp án:

   $m=\pm \sqrt{5}$

   Giải thích các bước giải:

   Phương trình hoành độ giao điểm:

   $x^3-mx^2+1=-x+1\\ \Leftrightarrow x^3-mx^2+x=0\\ \Leftrightarrow x(x^2-mx+1)=0\\ \Leftrightarrow  \left[\begin{array}{l} x=0\\x^2-mx+1=0\end{array} \right.$

   $(C) \cap (d)$ tại $A(0,1)$ và $B(x_1;y_1); C(x_2; y_2)$ với $x_1;x_2$ là nghiệm của phương trình $x^2-mx+1=0$

   $Vi-et: x_1+x_2=m; x_1x_2=1; \\ (C): y=x^3-mx^2+1\\ y’=3x^2-2mx$

   Để hai tiếp tuyến tại $B,C$ vuông góc với nhau, tích hai hệ số góc bằng $-1$

   $\Leftrightarrow y'(x_1).y'(x_2)=-1\\ \Leftrightarrow (3x_1^2-2mx_1)(3x_2^2-2mx_2)=-1\\ \Leftrightarrow 9(x_1x_2)^2-6mx_1^2x_2-6mx_1x_2^2+4m^2x_1x_2+1=0\\ \Leftrightarrow 9(x_1x_2)^2-6mx_1x_2(x_1+x_2)+4m^2x_1x_2+1=0\\ \Leftrightarrow 9-6m^2+4m^2+1=0\\ \Leftrightarrow -2m^2+10=0\\ \Leftrightarrow m=\pm \sqrt{5}$

   Bình luận

2. Phương trình hoành độ giao điểm:

   $x^3-mx^2+1=-x+1$

   $\Leftrightarrow x^3-mx^2+x=0$

   $\Leftrightarrow x(x^2-mx+1)=0$

   $\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x^2-mx+1=0$

   Xét phương trình $x^2-mx+1=0$

   $\Delta=m^2-4>0\to m<-2$ hoặc $m>2$

   Phương trình 2 nghiệm phân biệt là hoành độ của $B$ và $C$. Đặt $x_1=x_B, x_2=x_C$.

   Theo Viet: $x_1+x_2=m; x_1x_2=1$

   $f(x)=x^3-mx^2+1\to f'(x)=3x^2-2mx$

   Ta có: $f'(x_1).f'(x_2)=-1$

   $\to (3x_1^2-2mx_1)(3x_2^2-2mx_2)=-1$

   $\to 9(x_1x_2)^2-6mx_1^2x_2-6mx_1x_2^2+4m^2x_1x_2=-1$

   $\to 9(x_1x_2)^2-6mx_1x_2(x_1+x_2)+4m^2x_1x_2=-1$

   $\to 9.1-6m^2+4m^2+1=0$

   $\to m=\pm\sqrt5$ (TM)

   Vậy $m=\pm\sqrt5$

   Bình luận