Cho C là một điểm nằm trên đoạn thẳng AB \(\left(C\ne A,C\ne B\right)\). Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB kẻ 2 tia Ax, By cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm I khác A, tia vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K. Đường tròn đường kính IC cắt tia IK tại P.
a. CMR: Tứ giác CPKB nội tiếp được đường tròn. Xác định tâm đường tròn đó.
b. CMR: AI . BK = AC . BC
c. CMR: Tam giác APB vuông.
d. Cho A, B, I cố định. Tìm vị trí điểm C để diện tích tứ giác ABKI đạt giá trị lớn nhất.
a, \(\widehat{CPK}=\widehat{CPI}=90^o=\widehat{KBC}\) (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\(\Rightarrow CPKB\) nội tiếp đường tròn đường kính \(CK\)
\(\Rightarrow\) Tâm là trung điểm CK
b, \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{KBC}=\widehat{CAI}=90^o\\\widehat{KCB}=\widehat{CIA}\left(\text{phụ góc ICA}\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta KBC\sim\Delta CAI\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow AI.BK=AC.BC\)
c, \(\widehat{KPB}=\widehat{KCB}=\widehat{CIA}=\widehat{CPA}\)
\(\Rightarrow\widehat{APB}=\widehat{CPA}+\widehat{CPB}=\widehat{KPB}+\widehat{CPB}=90^o\)
d, \(AI.BK=AC.BC\Rightarrow BK=\frac{AC.BC}{AI}\le\frac{\left(AC+BC\right)^2}{4AI}=\frac{AB^2}{4AI}\)
\(S_{ABKI}=\frac{1}{2}\left(AI+BK\right)AB\le\frac{1}{2}\left(AI+\frac{AB^2}{4AI}\right).AB\)
\(Max_{S_{ABKI}}=\frac{1}{2}\left(AI+\frac{AB^2}{4AI}\right).AB\Leftrightarrow AC=BC\)
\(\Rightarrow\) C là trung điểm AB