Cho các mệnh đề sau: $\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ ≥ 2 (I); $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$ ≥3(II);
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ ≥$\frac{9}{a+b+c}$(III)
Với mọi giá trị dương a, b, c có
A. (I) đúng và (II),(III) sai
B.(II) đúg và (I),(III) sai
C.(III) đúng và (I),(II) sai
D. (I),(II),(III) đúng
(I): Áp dụng bđt cô si:
`a/b+b/a>=2sqrt((ab)/(ba))=2`
(II): Áp dụng bđt cô si:
`a/b+b/c+c/a>=3`$\sqrt[3]{\dfrac{abc}{bca}}=3$
(III): `1/a+1/b+1/c=1^2/a+1^2/b+1^2/c`
Áp dụng bđt cauchy schwarz:
`1^2/a+1^2/b+1^2/c>=((1+1+1)^2)/(a+b+c)=9/(a+b+c)`
Cả 3 bđt đúng
`=>D`
Đáp án:
D
Giải thích các bước giải:
Áp dụng BĐT cosi ta có
`a/b+b/a>=2\sqrt{(ab)/(ab)}=2`
`a/b+b/c+c/a>=3\root{3}{(abc)/(abc)}=3`
`->(I),(II)` đúng
Áp dụng BĐT svacxơ(C_S) ta có
`1/a+1/b+1/c>=9/(a+b+c)`
`->(III)` đúng