Cho các số a,b,c khác 0 thoả mãn A×B trên a+b =b×c trên b+c =c×a trên c+a. Tính giá trị của biểu thức P=a×b^2+b×c^2+c×a^2 trên a^3+b^3+c^3

Đáp án:

\[P = 1\]

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

\(\begin{array}{l}
\frac{{ab}}{{a + b}} = \frac{{bc}}{{b + c}} = \frac{{ca}}{{c + a}}\\
 \Leftrightarrow \frac{{a + b}}{{ab}} = \frac{{b + c}}{{bc}} = \frac{{c + a}}{{ca}}\\
 \Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{c} + \frac{1}{a}\\
 \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) – \left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right) = \left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) – \left( {\frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) = \left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) – \left( {\frac{1}{c} + \frac{1}{a}} \right)\\
 \Leftrightarrow \frac{1}{a} = \frac{1}{b} = \frac{1}{c} \Rightarrow a = b = c\\
P = \frac{{a{b^2} + b{c^2} + c{a^2}}}{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}} = \frac{{3{a^3}}}{{3{a^3}}} = 1
\end{array}\)