Cho các số a,b,c không âm thỏa mãn a^2+b^2+c^2=3.Tìm GTLN,GTNN của P= ab+bc+ca-abc

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 Min:

Do $a^2+b^2+c^2=3$ nên trong 3 số a;b;c phải có ít nhất 1 số không lớn hơn 1

Không mất tính tổng quát, giả sử $c \leq 1⇒1-c \geq 0$

Ta có:

$P=bc+ca+ab(1-c) \geq 0$

$⇒P_{min}=0$

Dấu “=” xảy ra khi $(a;b;c)=(0;0;\sqrt{3})$ và các hoán vị

Max:

Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số a;b;c luôn có ít nhất 2 số cùng phía so với 1. Không mất tính tổng quát, giả sử đó là a và b

$⇒(a-1)(b-1) \geq 0⇒1 \geq a+b-ab$

$⇒c \geq ac+bc-abc$

$⇒P=ac+bc-abc+ab \leq ab+c \leq \dfrac{a^2+b^2}{2}+\dfrac{c^2+1}{2} =\dfrac{3+1}{2}=2$

$P_{max}=2$ khi $a=b=c=1$