Cho các số `a, b, c `thỏa mãn 1 ≥a,b,c ≥0` `CMR:a + b 2 + c 3 – ab – bc – ca ≤1` 19/09/2021 Bởi Julia Cho các số `a, b, c `thỏa mãn 1 ≥a,b,c ≥0` `CMR:a + b 2 + c 3 – ab – bc – ca ≤1`
Đáp án: Giải thích các bước giải: Ta có: `1 ≥a,b,c ≥0=>b≥b^2, c≥c^3` và `abc≥0` `=>a+b^2+c^3-ab-bc-ca≤a+b+c-ab-bc-ca≤a+b+c-ab-bc-ca+abc` Ta sẽ chứng minh: `a+b+c-ab-bc-ca+abc≤1` `<=> 1-a-b-c+ac+bc+ba-abc≥0` `<=>(1-a)(1-b)(1-c)≥0` (luôn đúng với `1 ≥a,b,c ≥0`) `=>a+b^2+c^3-ab-bc-ca≤1` Dấu “=” xảy ra khi `a=1, b=0, c=0` hoặc `a=1,b=0,c=1` và các hoán vị của chúng Bình luận
`a + b^2 + c^3 – ab – bc – ca ≤a + b^2 + c – ab – bc – ca ≤a + b + c – ab – bc – ca ≤a + b + c – ab – bc – ca +abc≤(1-a)(1-b)(1-c)` vì`1≥(1-a)(1-b)(1-c)` `⇒a + b^2 + c^3 – ab – bc – ca≤1(ĐPCM)` Bình luận
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta có: `1 ≥a,b,c ≥0=>b≥b^2, c≥c^3` và `abc≥0`
`=>a+b^2+c^3-ab-bc-ca≤a+b+c-ab-bc-ca≤a+b+c-ab-bc-ca+abc`
Ta sẽ chứng minh: `a+b+c-ab-bc-ca+abc≤1`
`<=> 1-a-b-c+ac+bc+ba-abc≥0`
`<=>(1-a)(1-b)(1-c)≥0` (luôn đúng với `1 ≥a,b,c ≥0`)
`=>a+b^2+c^3-ab-bc-ca≤1`
Dấu “=” xảy ra khi `a=1, b=0, c=0` hoặc `a=1,b=0,c=1` và các hoán vị của chúng
`a + b^2 + c^3 – ab – bc – ca ≤a + b^2 + c – ab – bc – ca ≤a + b + c – ab – bc – ca ≤a + b + c – ab – bc – ca +abc≤(1-a)(1-b)(1-c)`
vì`1≥(1-a)(1-b)(1-c)`
`⇒a + b^2 + c^3 – ab – bc – ca≤1(ĐPCM)`