Cho các số a, b dương thoả mãn a*3+b*3=3ab-1.Chứng minh rằng (a*2018+b*2019)=2 15/09/2021 Bởi Adalynn Cho các số a, b dương thoả mãn a*3+b*3=3ab-1.Chứng minh rằng (a*2018+b*2019)=2
Đáp án: Giải thích các bước giải: Ta có: $a^{3}$+ $b^{3}$ =3ab-1 ⇔$a^{3}$+ $b^{3}$-3ab+1=0 ⇔$a^{3}$+ $b^{3}$+3ab(a+b)-3ab(a+b)-3ab+1=0 ⇔$(a+b)^{3}$+1-3ab(a+b+1)=0 ⇔(a+b+1)($(a+b)^{2}$-(a+b)+1)-3ab(a+b+1)=0 ⇔(a+b+1){$(a+b)^{2}$-(a+b)+1-3ab}=0 ⇔(a+b+1)($a^{2}$+$b^{2}$ -a-b+1-ab)=0 ⇔(a+b+1)(2$a^{2}$+2$b^{2}$ -2a-2b+2-2ab)=0 ⇔(a+b+1){($a^{2}$-2ab+$b^{2}$)+( $a^{2}$ -2a+a)+($b^{2}$-2b+1)}=0 ⇔(a+b+1){ $(a-b)^{2}$+$(a-1)^{2}$ +$(b-1)^{2}$}=0 Vì a,b dương nên a+b+1>0 ⇒ $(a-b)^{2}$+$(a-1)^{2}$ +$(b-1)^{2}$=0 ⇔ a=b=1 ⇒ $a^{2018}$ +$b^{2019}$ =1+1=2 Bình luận
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta có: $a^{3}$+ $b^{3}$ =3ab-1
⇔$a^{3}$+ $b^{3}$-3ab+1=0
⇔$a^{3}$+ $b^{3}$+3ab(a+b)-3ab(a+b)-3ab+1=0
⇔$(a+b)^{3}$+1-3ab(a+b+1)=0
⇔(a+b+1)($(a+b)^{2}$-(a+b)+1)-3ab(a+b+1)=0
⇔(a+b+1){$(a+b)^{2}$-(a+b)+1-3ab}=0
⇔(a+b+1)($a^{2}$+$b^{2}$ -a-b+1-ab)=0
⇔(a+b+1)(2$a^{2}$+2$b^{2}$ -2a-2b+2-2ab)=0
⇔(a+b+1){($a^{2}$-2ab+$b^{2}$)+( $a^{2}$ -2a+a)+($b^{2}$-2b+1)}=0
⇔(a+b+1){ $(a-b)^{2}$+$(a-1)^{2}$ +$(b-1)^{2}$}=0
Vì a,b dương nên a+b+1>0
⇒ $(a-b)^{2}$+$(a-1)^{2}$ +$(b-1)^{2}$=0
⇔ a=b=1
⇒ $a^{2018}$ +$b^{2019}$ =1+1=2