cho các số dương a,b,c,d biết `a/(1+a)+b/(1+b)+c/(1+c)+d/(1+d)<=1`

Đáp án:

Ta có

`a/(1 + a) + b/(1 + b) + c/(1 + c) + d/(1 + d) ≤ 1`

`-> b/(1 + b) + c/(1 + c) + d/(1 + d)  ≤ 1 – a/(1 + a) = 1/(1 + a)`

Áp dụng AM-GM ta có

`1/(1 + a) ≥ b/(1 + b) + c/(1 + c) + d/(1 + d)` $≥ 3\sqrt[3]{\dfrac{b}{1 + b} . \dfrac{c}{1 + c} . \dfrac{d}{1 + d}} = 3\sqrt[3]{\dfrac{bcd}{(1 + b)(1 + c)(1 + d)}}$

tương tư

`-> 1/(1 + b) ≥ c/(1 + c) + d/(1 + d) + a/(1 + a)` $≥ 3\sqrt[3]{\dfrac{c}{1 + c} . \dfrac{d}{1 + d} . \dfrac{a}{1 + a}} = 3\sqrt[3]{\dfrac{cda}{(1 + c)(1 + d)(1 + a)}}$

`-> 1/(1 + c) ≥ d/(1 + d) + a/(1 + a) + b/(1 + b)` $≥ 3\sqrt[3]{\dfrac{d}{1 + d} . \dfrac{a}{1 + a} . \dfrac{b}{1 + b}} = 3\sqrt[3]{\dfrac{dab}{(1 + d)(1 + a)(1 + b)}}$

`-> 1/(1 + d) ≥ a/(1 + a) + b/(1 + b) + c/(1 + c)` $≥ 3\sqrt[3]{\dfrac{a}{1 + a} . \dfrac{b}{1 + b} . \dfrac{c}{1 + c}} = 3\sqrt[3]{\dfrac{abc}{(1 + a)(1 + b)(1 + c)}}$

Nhân từng vế lại ta được

`1/[(1 + a)(1 + b)(1 + c)(1 + d)] ≥` $3\sqrt[3]{\dfrac{bcd}{(1 + b)(1 + c)(1 + d)}} . 3\sqrt[3]{\dfrac{cda}{(1 + c)(1 + d)(1 + a)}} . 3\sqrt[3]{\dfrac{dab}{(1 + d)(1 + a)(1 + b)}} . 3\sqrt[3]{\dfrac{abc}{(1 + a)(1 + b)(1 + c)}} = 81 . \sqrt[3]{\dfrac{(abcd)^3}{[(1 + a)(1 + b)(1 + c)(1 + d)]^3}}  =\dfrac{81abcd}{[(1 + a)(1 + b)(1 + c)(1 + d)]}$

`-> 1/[(1 + a)(1 + b)(1 + c)(1 + d)]  ≥ (81abcd)/[(1 + a)(1 + b)(1 + c)(1 + d)]`

`-> 1 ≥ 81abcd -> abcd ≤ 1/81`

Dấu “=” xảy ra `<=> a = b = c = d = 1/3`

Giải thích các bước giải: